Expected Value Random variable X와 Y에 대해 W = g(X, Y)의 expected value는 다음과 같이 구할 수 있다. W = g(X, Y)의 expected value를 구하기 위해서 joint PDF또는 joint PMF를 구하는 수고를 굳이 할 필요는 없다. 위의 정의를 이용하여 많은 응용이 가능하다. Expected Value of Sum of Functions X, Y에 대한 여러가지 함수들이 덧셈 형태로 표현이 된다면, 한꺼번에 계산하는 것이 어려운 경우, 각각의 함수에 대해 expected value를 먼저 구해서 더해도 상관없다. 이것이 성립할 수 있는 것은 summation과 integral에 대해서 linearity가 성립하기 때문이다. 이러한 정리는 또..

개념 및 유도 Convolution은 어떤 LTI System의 Signal을 우리가 이미 알고 있는 Elementary Function으로 쪼개기 위한 것이다. Convolution을 적용하기 위해서는 그러한 Signal을 무수히 많은 Impulse들로 만드는 과정을 거쳐야만 한다. 결론적으로는 Impulse Response를 이용해서 최종적인 Response를 구할 수 있게 된다. 위의 그림에서 점선으로 나타나있는 부분을 임의로 T_p 라는 Period만큼 Approximation을 거쳤다. 이러한 경우 새롭게 만들어진 x(t)는 위와 같이 나타낼 수 있다. Unit-impulse를 만드려면 T_p를 무한히 작은 값을 가지도록 보내면 된다. 위와 같이 변환이 된다. y(t)의 경우에는, 와 같이 나타..

Existence f(x)가 x축에서 Absolutely Integrable하고, 모든 유한한 구간에서 Piecewise Continuous할때, f(x)의 Fourier Transform이 존재한다는 것이 Theorem of Existence of the Fourier Transform이다. Piecewise Continuous에 대한 내용: http://blastic.tistory.com/94 Absolutely Integrable에 대해서는 아래 링크를 참조하기 바란다. (링크: https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/Existence_Fourier_Transform.html) Absolutely Integrable을 간단히 설명하면, f(x)를 절대값으로 씌운 것, 즉 |f..

개요 Integral Transform 이란 주어진 함수를 Integral의 형태로 변환시키는 것으로, ODE와 PDE, Integral Equation을 푸는데 자주 사용되는 도구라고 할 수 있다. 이전에 다뤘던 Laplace Transform 역시 Integral Transform의 한 종류라고 할 수 있다. 여기서는 Fourier Transform에 대해 다뤄보겠다. Fourier Transform은 Fourier Integral으로부터 얻을 수 있다. Fourier Transform은 Fourier Cosine Transform과 Fourier Sine Transform으로 나뉘며, 각각은 Even Function과 Odd Function에 대해 사용한다. Fourier Cosine Transfo..

왜 Laplace Transform을 사용하는가? Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다. 대략적인 프로세스를 설명하자면, 주어진 ODE를 Laplace Transform하면, 복잡했던 식들이 단순한 대수방정식으로 바뀌게 되는데, 이 방정식을 풀고 난 후, 다시 Inverse Transform하여 원하는 Solution을 얻는 것이다. 이러한 방법의 장점은 두가지가 존재한다. 첫째, Initial Value Problem을 풀기 위해서 General Solution을 구해야 하거나 Nonhomogeneous ODE를 풀기 위해 Homogeneous ODE를 먼저 풀고 나서 풀어야 하는 기존의 방식과는 달리 조금 더 Direct하게 문제를 풀 수 있다. 둘째, Sign..

Linearity y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) Second-order ODE는 위와 같이 Second-level Derivative가 최고 차수인 ODE를 말하며, 위와 같은 Standard Form으로 쓸 수 있을 때, Linear라고 하며, 그렇지 못할 때 Nonlinear라고 한다. 마찬가지로 y'' 대신 f(x)y'' 의 형태로 되어있는 경우 양변을 f(x)로 나누어야 한다. Homogeneity y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 위와 같은 형태로 쓸 수 있는 경우 Homogeneous라고 하며, r(x)가 0이 아닌 경우 Nonhomogeneous라고 한다. 앞으로 알아보게 될 Second-order ODE는 Homogeneous와 Nonhomogeneous로 구..