예제 누군가가 어딘가에 전화를 걸어 그 통화시간을 체크했다고 하자. 1/3의 확률로 잘못된 번호를 누르거나 상대방이 통화중이다. 이 때는 통화시간을 0분으로 친다. 그렇지 않으면 2/3 확률로 통화시간이 0~3분 사이에 일정하게 분포해 있다고 하자. Y를 통화시간이라고 했을때, 이 random variable Y에 대해서 CDF, PDF, expected value를 구하라. Event A를 전화 연결이 성공한 것이라고 했을 때, Y의 범위는 0~3 사이가 되므로, law of total probability를 이용해 다음과 같이 CDF를 쓸 수 있다. 만약 event A^c, 그러니까 전화를 받지 않는 event가 발생했다면, Y = 0 이 되므로, 0 ≤ y ≤ 3 에 대해, P[Y ≤ y|A^c] ..

Existence f(x)가 x축에서 Absolutely Integrable하고, 모든 유한한 구간에서 Piecewise Continuous할때, f(x)의 Fourier Transform이 존재한다는 것이 Theorem of Existence of the Fourier Transform이다. Piecewise Continuous에 대한 내용: http://blastic.tistory.com/94 Absolutely Integrable에 대해서는 아래 링크를 참조하기 바란다. (링크: https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/Existence_Fourier_Transform.html) Absolutely Integrable을 간단히 설명하면, f(x)를 절대값으로 씌운 것, 즉 |f..

개요 Integral Transform 이란 주어진 함수를 Integral의 형태로 변환시키는 것으로, ODE와 PDE, Integral Equation을 푸는데 자주 사용되는 도구라고 할 수 있다. 이전에 다뤘던 Laplace Transform 역시 Integral Transform의 한 종류라고 할 수 있다. 여기서는 Fourier Transform에 대해 다뤄보겠다. Fourier Transform은 Fourier Integral으로부터 얻을 수 있다. Fourier Transform은 Fourier Cosine Transform과 Fourier Sine Transform으로 나뉘며, 각각은 Even Function과 Odd Function에 대해 사용한다. Fourier Cosine Transfo..

유도 지금까지 다룬 Fourier Series는 Periodic 한 것이나, Finite Interval한 함수에 대해서는 상당히 강력한 해결도구가 되지만, Non-periodic하거나 x축 전체를 사용하는 함수에 대해서는 이를 그대로 적용하기 어렵다. 그래서 나오게 된 개념이 바로 Fourier Integral이다. Fourier Integral은 만약 Period에 사용되는 변수 L을 무한대로 보내버렸을 때에는 과연 어떻게 될 것인가에 대한 생각으로부터 출발한다. L → ∞ 에 따라서 Summation이 Integral로 바뀔 것을 예상해 볼 수 있으며, 식의 간결함을 위해서 w_n을 쓰긴 했지만, 이제 n이 integer일 필요는 없게 되었다. 따라서 이후에는 w_n 대신 w로 바꾸어 쓰게 될 것이..

Derivatives 지난번 포스트에서 'Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다.' 라고 소개해 놓고는 정확히 어떤 방법으로 ODE를 간단히 푸는데 Laplace Transform이 도움이 되는지에 대해서는 설명하지 않았다. Derivative를 Laplace Transform 하는 방법은 다음과 같다. f(t)의 Derivative인 f'(t)에 대해서 Laplace Transform을 수행하여 보면, 다음과 같이 식을 쓸 수 있다. Second-level Derivative에 대해서도 마찬가지다. 차수가 더 높아지더라도 결론적으로는 모든 Derivative가 Laplace Transform 이후에는 사라진다. 결론적으로는 단순한 대수학적인 방법만으로 식을 정리할 ..