[Laplace Transforms] Derivatives and Integrals

Derivatives

지난번 포스트에서 'Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다.' 라고 소개해 놓고는

정확히 어떤 방법으로 ODE를 간단히 푸는데 Laplace Transform이 도움이 되는지에 대해서는 설명하지 않았다.

Derivative를 Laplace Transform 하는 방법은 다음과 같다.

f(t)의 Derivative인 f'(t)에 대해서 Laplace Transform을 수행하여 보면,

다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

Second-level Derivative에 대해서도 마찬가지다. 

차수가 더 높아지더라도 결론적으로는 모든 Derivative가 Laplace Transform 이후에는 사라진다.

결론적으로는 단순한 대수학적인 방법만으로 식을 정리할 수 있게 되는 것이다.

Derivative의 Laplace Transform을 정리하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

Integral

한편 Integral에 대해서는 다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

어떤 f(t)가 g(t)의 Derivative, 즉 g'(t)와 같다고 놓았을때, 다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

마찬가지로 s의 변수의 세계에서는 간단한 곱으로 바뀌어있는 것을 볼 수 있다.

좀 더 정확한 정의는 아래와 같다.

F(s)를 f(t)의 Laplace Transform이라고 하자.
단, f(t)는 t > 0의 구간에서 piecewise continuous 하며, growth restriction을 만족하여야 한다.
그러면, s > 0, s > k, t > 0인 경우에 한하여 다음과 같은 식이 성립한다.

Piecewise Continuous

어떤 함수 f가 discontinuous하다고 하더라도, 그 각각의 subinterval에서는 continuous한 동시에,

그 끝이 finite한 상태일 때를 Piecewise continuous라고 한다.

대략 다음과 같은 모양이 좋은 예제가 되겠다.

이 함수는 a ≤ t ≤ b 에서 piecewise continuous 하다고 말할 수 있다.

Growth Restriction

모든 t ≥ 0 에 대해서,

를 만족하는 경우, Growth Restriction을 만족한다고 할 수 있다.

* f(t)가 너무 빠르게 커지지 않는 경우에만 Laplace Transform을 가질 수 있다.

Differential Equation

이제 실제 ODE를 가지고 위에서 다뤘던 내용들을 적용시켜보자.

보통의 실제 모델링에서 r(t)는 input, 또는 driving force로 많이 적용되며,

y(t)는 그러한 input에 대한 output, response 등으로 설정된다.

먼저, 주어진 식에 대해서 Laplace Transform을 수행해보면,

위와 같이 정리할 수 있다.

Transfer Function

여기서 잠깐 짚고 넘어가야 할 것이 있는데 그것이 바로 Transfer function이다.

정리된 식에서 Y와 곱으로 엮여있는 식인 (s^2 + as + b)는 Transfer function의 역수가 된다.

(Q는 보통 H라고 denote되는 경우가 많다.)

Q(s)를 이용해 식을 정리해 보면,

위와 같은 식을 얻을 수 있다.

만약 K_0와 K_1이 0이 되는 경우 첫번째 항이 사라지므로, Y = RQ, 즉 Q = Y/R로 쓸 수 있다.

최초에, Output과 Input의 관계를 되새겨 보면, Q는 Output과 Input의 비 라는 것을 알 수 있다.

최종적으로는 Y를 Inverse Transform하여 y(t)를 구할 수 있다.

Shifted Data Problems

만약 Initial condition이 t = 0 이 아닌 t = t_0 > 0 에 대해서 주어졌다면 어떨까?

그냥 풀기는 상당히 까다롭다. 이럴 경우에는 Shifting을 이용해 풀어야 한다.

아래 예제를 살펴보자.

먼저 Shifting을 하면,

위와 같이 다시 쓸 수 있다. 이것을 Linear Transform 하면, 

 이렇게 구한 Ỹ를 토대로 Inverse Transform을 통해 ỹ를 구하면,

이제, 원래의 함수 y를 구할 차례다.

이로써 ODE를 풀수 있다.