개요 하나의 random variable을 생성하는 experiment에서의 event는 하나의 지점이나 혹은 line으로 된 interval 형태로 나타난다. 한편, 2개의 random variable을 얻을 수 있는 experiment의 경우에는, 각각의 outcome은 (x,y)와 같이 평면상의 한 점(point)으로 나타나고, event는 평면위의 point나 넓이를 갖는 영역으로 나타나게 된다. 2 random variable에서는 'joint CDF'를 이용해서 표현한다. 이 joint CDF의 범위는 일반적으로 아래와 같이 생각하면 된다. 특정 포인트 (x,y)를 기준으로 음의 무한대까지의 범위를 말한다. 정의 Random variable X와 Y의 joint cumulative distri..

Conditional PDF Given an Event Random variable X와 그의 PDF f_X(x)에 대해서 P[B] > 0인 event B ⊂ S_X 에 대해서, event B에 대한 X의 conditional PDF는 다음과 같이 정의한다. 일반적으로 어떤 event B가 발생했을 때, 우리는 random variable X에 대해 conditional probability model을 정의할 수 있다. 함수 f_X|B(x)는 X와 관련되어 새롭게 만들어진 random variable에 대한 probability model이라고 할 수 있다. 따라서, 이는 다른 여타 PDF와 같은 성질을 갖게된다. 예를 들어 모든 x 범위에 대한 integral값은 역시 마찬가지로 1이다. 또한, 어떤..

Conditional Probability Mass Function 어떤 event A (P[A]>0)에 대해서, random variable X의 conditional PMF는 다음과 같이 정의된다. 이전 포스트에서 우리는 conditional probability에 대해 다뤘다. 이는 PMF에도 적용할 수 있다. 즉, 어떤 특정 event가 발생했을 조건하에 probability mass function가 정의될 수 있다. 이전의 theorem을 이용하면, 여러개의 conditional PMF를 이용해서 overall PMF를 이끌어 낼 수 있다. 어떤 random variable X에 대해 event space B_1, B_2, ... , B_m 이 존재할때 다음이 성립한다. 이전에 다뤘던 law ..

정의 CDF를 그대로 해석하면 누적확률 분포함수가 된다. 다시 말해서 어떤 random variable X가 x이하일 확률을 나타내는 함수다. PMF와 마찬가지로 CDF역시 discrete RV가 나타내는 probability model을 완벽히 설명해 준다. 관련 정리 1 (a)는 CDF가 0에서 시작해서 1에서 끝난다는 것을 나타내고 있다. (b)를 보면 CDF는 항상 증가하는 함수 (단조 증가함수; increasing function)임을 알 수 있다. 한편 (c)에서는 특정 지점에서 값이 갑자기 변한다는 것을 알려주고 있다. (discontinuity) 다시 말해서 CDF의 그래프를 그리면 항상 계단형의 그래프가 나오게 되는 것이다. x_i는 sample space에 포함되어있기 때문에 극히 작은..

Independent Trials 이전 포스트에서 다루었던 independence와는 약간 다른 개념인데, 그냥 이미 익히 들어서 알고 있는 '독립시행'이 여기서 다루고자 하는 것이다. 즉, 같은 주사위를 몇번이고 던진다든지 하는 것들이 그것이다. 바로 전 포스트에서 sample space의 크기를 측정했다면, 여기서는 그것 보다는 확률의 수치를 가지고 노는 것이라고 생각하면 되겠다. 여기서 다룰 내용은 이후에 다루게 될 내용에도 다시한번 언급이 될 것이다. Success & Failure Model 어떤 experiment를 수행했을때, 특정 event가 발생할 확률이 p라고 하자. 이것을 n (= n_0 + n_1)번 반복했을 때, n_1번 성공하고 n_0번 실패할 확률은 다음과 같이 구할 수 있다...

정의 P[AB] = P[A]P[B] 위 식을 만족하는 Event A와 B는 independent 하며, event A와 B가 independent 하려면 위 식을 만족해야 한다. (필요충분조건) 만약 event A와 B가 nonzero probability, 즉 0이 아닌 확률을 가지는 경우 다음을 만족한다. P[A|B] = P[A], P[B|A] = P[B] 해석 Independence는 말 그래도 event간의 독립성을 말한다. 즉, event간의 간섭이 없고, 종속관계에 속하지 않음을 뜻한다. 왜 독립이기 위해서 P[AB] = P[A]P[B] 이어야 하나요? 라고 묻는다면, '독립의 정의가 그렇게 되어있기 때문에 그렇다.' 라고 대답해 주면 된다. 이전에 들었던 6면체 주사위 예제를 다시 가져와보자..