Simplifying Theorem 어떤 expression이 좌변과 같은 형태인 경우에 우변으로 간단하게 바꿀 수 있다. (1), (2), (5)의 경우에는 앞서 배웠던 associative / distributive law를 이용하면 간단히 증명된다. 나머지의 경우는 다음과 같이 증명된다. 이러한 법칙들은 다양하게 이용할 수 있는데, 보통 복잡해 보이는 식들도 치환법과 위의 법칙을 함께 사용하면 매우 쉽게 정리된다. 몇 가지 예제를 살펴보자. Simplifying Examples Z = A'BC + A' X = A', Y = BC 로 치환하면, Z = XY + X 와 같이 나타낼 수 있으므로, 위의 (3)번 식을 적용할 수 있다. 즉 Z = X = A' 로 간단히 할 수 있다. Z = (A + B'C..

Basic of Basic 이 포스트에서는 boolean algebra의 가장 기초적인 법칙들에 대해서 다루도록 하겠다. 먼저 다음에 소개될 법칙들은, 그 중에서도 가장 기본적인 법칙으로 그 증명은 그냥 X에 0 또는 1을 넣는 것이면 된다. (여기서 부가적인 증명은 하지 않는다.) 또한 X 대신 어떤 expression을 넣는다 하더라도 아래의 법칙들은 모두 true이다. Operations with 0 and 1 X + 0 = X X + 1 = 1 X · 0 = 0 X · 1 = X Idempotent Laws X + X = X X · X = X Involution Law (X')' = X Laws of Complementarity X + X' = 1 X · X' = 0 Commutative Law ..

앞에서 배운 3가지 basic operation들을 조합하면 다양한 expression들을 만들어 낼 수 있다. Expression은 표현식, 즉, 등호가 포함되지 않은 여러개의 항으로 이루어진 식이다. 위의 그림을 보면 AB' + C, (A + C)(B' + C) 등과 같이 여러개의 operator와 operand들을 조합해서 expression을 만들어낼 수 있다. 이러한 expression은 A, B, C... 등의 variable이 어떤 값을 갖느냐에 따라 expression 전체가 나타내는 값이 달라진다. 이를 알아보기 쉽게 표현한 것이 truth table이며 '진리표'라고 풀이한다. 일반적으로 왼편에 수식에 들어있는 변수들의 모든 가능한 경우를 나열한 다음 우측에 expression과 함께 ..

3 basic operations Boolean algebra은 영국의 수학자인 Boole이 창안한 0과 1만으로 이루어진 대수학을 말한다. Digital logic circuit의 근간을 이루고 있는 이론이기 때문에, 당연하게도 대부분의 내용을 숙지하고 있어야 이후에 이어질 내용을 쉽게 이해할 수 있다. 먼저 여기서는 3가지의 기본적인 연산인 NOT, AND, OR와 그 표현법에 대해서 다루도록 하겠다. NOT operation 0과 1은 다음과 같은 관계를 갖는다. 0' = 1, 1' = 0 여기서 NOT operation의 연산자는 (') ← 요 녀석이고 prime 이라고 읽는다. 임의의 변수 X가 0이라면 X' = 1이며, X가 1이라면 X' = 0 이다. NOT gate의 모양은 위와 같다. 삼..

Binary Codes 컴퓨터는 2진수를 사용하지만, 일련의 2진수 숫자들을 어떤 문자라든지, 혹은 0~9까지의 10진수에 1:1 mapping을 할 필요가 있을 때가 있다. 여기서는 몇 가지 binary code와 각 코드의 특징에 대해서 살펴보려고 한다. BCD (8-4-2-1 Code) BCD는 binary-coded-decimal의 약자다. 그다지 특별할 것이 없는 것이, 그냥 10진수를 2진수로 표현한것에 불과하다. 즉 0은 0000, 1은 0001, 2은 0010... 과 같이 표시하는 것이다. 다시말해 어떤 10진수 숫자 '459'가 있으면 '0100 0101 1001'과 같이 표시하는 것이다. 여기서 1010 부터 1111까지의 숫자들은 사용되지 않는다. 즉, malfunction이 발생해..

시작하기 전에 Digital은 컴퓨팅이나 데이터 처리, 제어시스템, 통신, 측정 등에 널리 쓰이고 있다. Analog에 비해서 정확하며 믿을만 하기 때문이다. 모든 수치들이 quantized, 즉 discrete한 값을 갖는다. 데이터의 수치를 어떤 하나의 voltage나 current level로 결정되는 것이 아니라 0과 1의 binary로 되어있는 숫자들의 묶음으로 되어있기 때문에, (물론 0과 1이라는 것이 voltage나 current level과 완전히 동떨어져서 생각할 수 있는 것은 아니다.) digital이 analog에 비해서 정확한 값을 얻을 수 있을 가능성이 훨씬 높다. Digital이 근 10~20년 사이 급격히 각광받고 있는 이유가 여기에 있다. 물론 digital logic에 관..