2012/02/24
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2012.02.24 [Pairs of RV] Functions of Two Random Variables
개요 두 개의 random variable을 조합하여 우리가 필요한 어떤 다른 정보를 얻을 수 있는, 새로운 random variable을 W = g(X,Y) 와 같이 얻을 수 있다. X, Y에 대한 joint PMF나 joint PDF가 이미 있다면, 우리가 생각해 보아야 할 문제는 W에 대한 probability model을 이 joint PMF와 joint PDF에서 어떻게 이끌어 낼것인가 하는 것이다. Case I: Discrete RV 먼저 discrete RV인 X, Y에 대해서, 새롭게 얻고자 하는 random variable W의 sample space는 곧 g(X,Y)의 모든 가능한 value가 될 것이다. 그러면 W의 PMF는 X,Y의 joint PMF와 다음과 같은 관계를 갖는다. 여..
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2012.02.24 [Pairs of RV] Marginal PDF
Marginal PDF Random variable X,Y와 그의 joint PDF f_X,Y(x,y)에 대해서 다음이 성립한다. Joint PDF를 통해서 각 x, y에 대한 PDF를 구할 수 있다. Marginal PMF의 continuous RV 버전이라고 볼 수 있다. 이전에서 summation을 사용했다면 여기서는 continuous한 구간을 편적분 한 것이라고 보면 된다. 증명은 joint PDF의 정의로 부터, 위 식의 양변의 derivative를 구하면 곧, 위 정리가 그대로 나온다. 예제 다음과 같은 joint PDF가 있을 때, marginal PDF를 구하라. 앞의 정의를 이용해야 하는데, 여기서도 위끝 아래끝을 정확히 적는 것이 좋다. 먼저 joint PDF의 형태를 좌표평면상에서 ..
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2012.02.24 [Pairs of RV] Joint Probability Density Function
정의 Continuous random variable X와 Y의 joint probability density function은 f_X,Y(x,y)로 표시하고 joint CDF와 다음과 같은 관계를 가진다. Single random variable X의 PDF가 단위길이에 대한 확률의 측정이라면, 두개의 random variable X와 Y의 PDF는 단위넓이에 대한 확률의 측정이라고 볼 수 있다. PDF의 정의로 부터, 즉, 어떤 작은 dx, dy에 대해서 위 식이 성립하는 것이고, 이는 곧 joint CDF의 derivative가 joint PDF가 됨을 의미한다. Joint PDF의 정의와 위 식은 곧, joint PDF와 joint CDF가 X, Y에 대한 동일한 확률 모델(equivalent p..