Marginal PDF

Random variable X,Y와 그의 joint PDF f_X,Y(x,y)에 대해서 다음이 성립한다.

f_X(x) = \int_\infty^{-\infty} f_{X,Y}(x,y)~dy,~~~~~f_Y(y) = \int_\infty^{-\infty} f_{X,Y}(x,y)~dx


Joint PDF를 통해서 각 x, y에 대한 PDF를 구할 수 있다. 
Marginal PMF의 continuous RV 버전이라고 볼 수 있다.
이전에서 summation을 사용했다면 여기서는 continuous한 구간을 편적분 한 것이라고 보면 된다.
증명은 joint PDF의 정의로 부터,

F_X(x) = P[X \leq x] = \int_{-\infty}^{x} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(u,y) ~dy \right)\,du


위 식의 양변의 derivative를 구하면 곧, 위 정리가 그대로 나온다.



예제

다음과 같은 joint PDF가 있을 때, marginal PDF를 구하라.

f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 5y/4&-1\leq x \leq 1,~ x^2 \leq y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}


앞의 정의를 이용해야 하는데, 여기서도 위끝 아래끝을 정확히 적는 것이 좋다.
먼저 joint PDF의 형태를 좌표평면상에서 그려본 다음 어떤 식으로 적분을 하는 것이 좋을지 판단한다.


먼저 y에 대해 적분함으로써 X에 대한 PDF를 구하기 위해서는
y가 가질 수 있는 범위를 파악해야 하는데 x^2 ≤ y ≤ 1 이므로,
간단히 위끝은 y=1, 아래끝은 y = x^2 으로 하면 된다. 식을 써 보면,

f_{X}(x) = \begin{cases} \int_{x^2}^1 5y/4 ~dy = \frac{5(1-x^4)}{8}&-1\leq x \leq 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}


아래와 같이 구할 수 있다.
한편, Y에 대한 PDF는,

f_{Y}(y) = \begin{cases} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} 5y/4 ~dx = \frac{5y}{4}\left[x\right]_{x=-\sqrt{y}}^{x=\sqrt{y}}=(5/2)y^{3/2}& 0 \leq y \leq 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}


위와 같이 구할 수 있다. Marginal PDF의 형태는 위 그래프를 참조하면 되겠다.

Posted by Nicatio

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