[Discrete-time] Convolution Sum

본론에 앞서

Discrete-time LTI System에서 Impulse Response는 개별적으로 적용된다.

예를 들어 x[n] = δ[n] + δ[n-1] 이라고 한다면,

이 때의 Response y[n]은 x_1[n] = δ[n] 일때의 Response y_1[n] 과 

x_2[n] = δ[n-1] 일때의 Response y_2[n] 의 합으로 구성 된다. 즉,

y[n] = y_1[n] + y_2[n]

이 된다. 여기서 설명하려는 Convolution 역시 이런 성질을 십분 이용하고 있다.

유도

위와 같은 x[n]과 h[n]이 존재한다고 하자.

x[n]은 무수히 많은 Impulse들의 합으로 이루어져 있다.

다만 그 Magnitude가 Cosine함수를 따라가고 있을 뿐이다.

굳이 수학식으로 나타내 보자면, x[n] = cos(πn/4) u[n+5] 가 될 것이며,

Impulse들의 합으로 나타내면,

x[n] = cos(-5π/4) δ[n+5] + cos(-4π/4) δ[n+4] + ... 

물론 만약 n이 특정한 지점이 되면, 나머지 항은 모두 삭제된다.

다시 말해서 예를 들어 n = -5 일때,  x[-5] = cos(-5π/4) 이며,

나머지 항은 Unit-impulse Function 부분이 0이 되므로 모두 제거된다.

y[n]은 이러한 각각의 Impulse Response들의 합이 된다.

어떤 특정한 지점 n에 대한 y[n]을 구해보면,

y[n] = ... + x[-1]h[n+1] + x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + ...

가 되는 것이다. 이것을 Summation으로 만들면,

이것이 Convolution Sum을 구하는 공식이다.

Continuous-time의 Convolution과 형태가 상당히 비슷하다. (참고: http://blastic.tistory.com/115)

Properties

먼저 임의의 함수 Unit-impulse Function과의 Convolution은 곧 함수 자기 자신과 같다.

이는 Unit-impulse Function이 n = 0 이외에는 0의 값을 가지기 때문이다.

함수에 붙은 Constant는 자유롭게 빠져나올 수 있다.

다음과 같이 Excitation-shifting도 가능하다.

위와 같이 Time-shifting이 가능하다.

이외에도 다음과 같은 Properties가 존재한다.

만약 y[n] = x[n] * h[n] 인 경우,

위와 같이 Boundary를 가진다.

BIBO Stability

Stability는 이전에 Discrete-time Signal Property를 설명할때 (참고: http://blastic.tistory.com/78)

따로 증명 없이 설명했던 부분인데, Impulse Response를 이용하면 System이 Stable한지 파악할 수 있다.

어떠한 System을 x[n]이라고 했을때, y[n]을 Response라고 한다면, y[n] = x[n] * h[n] 이라고 쓸 수 있고,

만약 x[n]이 Boundary를 가진다면, h[n]이 Absolutely Summable 할때, 

y[n] 역시 Boundary를 가진다고 할 수 있다. 즉 System x[n]은 BIBO Stable하다.