[Continuous-time] Convolution
2011. 2. 18. 21:32
개념 및 유도
Convolution은 어떤 LTI System의 Signal을 우리가 이미 알고 있는 Elementary Function으로 쪼개기 위한 것이다.
Convolution을 적용하기 위해서는 그러한 Signal을 무수히 많은 Impulse들로 만드는 과정을 거쳐야만 한다.
결론적으로는 Impulse Response를 이용해서 최종적인 Response를 구할 수 있게 된다.
위의 그림에서 점선으로 나타나있는 부분을 임의로 T_p 라는 Period만큼 Approximation을 거쳤다.
이러한 경우 새롭게 만들어진 x(t)는
위와 같이 나타낼 수 있다.
Unit-impulse를 만드려면 T_p를 무한히 작은 값을 가지도록 보내면 된다.
위와 같이 변환이 된다.
y(t)의 경우에는,
와 같이 나타나는데, 여기서 h_p로 나타나는 것은 Unit-pulse Response이다.
앞서서도 이야기 했듯이, Linearity와 Superposition을 이용하기 때문에 이것이 가능하다.
대략 그림으로 보면,
y(t) 역시 마찬가지로 T_p를 무한히 작은 값을 갖도록 한다.
이러한 방식으로 Response를 얻게 되는데,
우리는 이를 Convolution Integral 이라고 부르며, operator * 을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Properties
Convolution의 Property에는 다음과 같은 것들이 있다.
증명은 다음 문서를 참조하기 바란다.