[Fourier Transforms] Properties and Convolution

Existence

f(x)가 x축에서 Absolutely Integrable하고, 모든 유한한 구간에서 Piecewise Continuous할때,

f(x)의 Fourier Transform이 존재한다는 것이 Theorem of Existence of the Fourier Transform이다.

Piecewise Continuous에 대한 내용: http://blastic.tistory.com/94

Absolutely Integrable에 대해서는 아래 링크를 참조하기 바란다. 

(링크: https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/Existence_Fourier_Transform.html)

Absolutely Integrable을 간단히 설명하면, f(x)를 절대값으로 씌운 것, 

즉 |f(x)|를 모든 구간에 대해서 적분했을때 Converge 하는 경우를 Absolutely Integrable하다고 말한다.

Linearity

Fourier Cosine Transform과 Fourier Sine Transform와 마찬가지로 Linearity한데, 

간단히 증명해 볼 수 있다.

정리해 보면,

Derivative

마찬가지로 Derivative도 구할 수 있다.

다만 조건이 붙는데 |x| → ∞ 일때, f(x) → 0 이어야 하며, x축에서 continuous 하여야 한다.

간단히 f'(x)의 Fourier Transform을 직접 넣어보면 된다.

Second-level Derivative에 대해서도 마찬가지로 구하면

위와 같다. 정리하면,

Convolution

Convolution은 이미 Laplace Transform에서 소개한 적이 있다. (링크: http://blastic.tistory.com/98)

Fourier Transform에서도 마찬가지로 Convolution이 적용된다. 

Convolution의 정의를 다시 가져와 보면,

이것인데, 그대로 바로 Fourier Transform에 넣어보자.

다만 헷갈리지 않기 위해서 t 대신 x로 바꿔 쓰도록 하겠다.

Convolution의 Fourier Transform은 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있겠다.

한편, 양변에 Inverse Fourier Transform을 씌우면 

위와 같이 쓸수도 있다.