예제 누군가가 어딘가에 전화를 걸어 그 통화시간을 체크했다고 하자. 1/3의 확률로 잘못된 번호를 누르거나 상대방이 통화중이다. 이 때는 통화시간을 0분으로 친다. 그렇지 않으면 2/3 확률로 통화시간이 0~3분 사이에 일정하게 분포해 있다고 하자. Y를 통화시간이라고 했을때, 이 random variable Y에 대해서 CDF, PDF, expected value를 구하라. Event A를 전화 연결이 성공한 것이라고 했을 때, Y의 범위는 0~3 사이가 되므로, law of total probability를 이용해 다음과 같이 CDF를 쓸 수 있다. 만약 event A^c, 그러니까 전화를 받지 않는 event가 발생했다면, Y = 0 이 되므로, 0 ≤ y ≤ 3 에 대해, P[Y ≤ y|A^c] ..

필요성 지금까지는 discrete RV와 continuous RV를 따로 떼어서 설명했다. Discrete RV는 PMF, continuous RV는 PDF라는 함수를 이용해 probability model을 나타냈다. 이러한 함수는 매우 중요한데, probability model의 특징을 나타내는 값들 (expected value, variance 등)을 구하는 계산을 편리하게 하기 때문이다. PMF는 덧셈, PDF는 integral을 사용하고 있다. 만약 우리가 이러한 두 가지 종류의 RV가 섞인 형태, 즉 mixed RV에 대해 이야기 하려면 여기서 설명하고자 하는 delta function이나 step function에 대해 알아야할 필요 있다. 이러한 함수들을 통해 discrete RV와 con..

정의 CDF를 그대로 해석하면 누적확률 분포함수가 된다. 다시 말해서 어떤 random variable X가 x이하일 확률을 나타내는 함수다. PMF와 마찬가지로 CDF역시 discrete RV가 나타내는 probability model을 완벽히 설명해 준다. 관련 정리 1 (a)는 CDF가 0에서 시작해서 1에서 끝난다는 것을 나타내고 있다. (b)를 보면 CDF는 항상 증가하는 함수 (단조 증가함수; increasing function)임을 알 수 있다. 한편 (c)에서는 특정 지점에서 값이 갑자기 변한다는 것을 알려주고 있다. (discontinuity) 다시 말해서 CDF의 그래프를 그리면 항상 계단형의 그래프가 나오게 되는 것이다. x_i는 sample space에 포함되어있기 때문에 극히 작은..

A Concept of Discontinuity and Singularity 위의 그림들은 모두 Continuous-time Function에 해당하는 함수들이다. 여기서 설명하는 Continuity or Discontinuity는 Continuous-time과는 별개의 개념이다. 어떤 함수 g(t)에서 Discontinuity한 어떤 시간이 t = t0라고 할때, Discontinuity는 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다. 간단히 이야기 하면 어떤 점의 왼쪽과 오른쪽 극한값이 서로 다른 지점이다. Figure 2.2 (b)에서 g(t) 자체는 Continuity한 함수지만, g'(t)를 구한다면, 화살표로 표시한 지점은 g'(t)에서 Discontinuity하다고 할 수 있는 것이다. 또한 g'(t..