정의 어떤 random variable X의 PDF가 다음과 같을 때, X를 Gaussian random variable (μ, σ) 라고 한다. 여기서 μ는 어떠한 실수, σ > 0이어야 한다. PDF의 식이 상당히 복잡하게 되어있는데, 일단 어떤 모양인지 살펴 보면, 위와 같다. Peak가 μ에서 형성됨을 알 수 있으며, σ은 전체 그래프의 모양이 어떻게 퍼져 있는지를 나타낸다. 이러한 종모양의 커브는 확률이론을 적용할 때 자주 등장한다. 예를 들어 대한민국 남자의 평균 키 분포 라든지, 인간 전체의 아이큐 측정값 분포 같은 것을 살펴보면, 위와 같은 형태로 나타난다. 어떤 임의의 random variable X를 갖는 experiment를 비교적 많이 반복시행하면 위와 같은 형태로 나타난다. (이 ..

Cumulative Distribution Function (CDF) Random variable X의 cumulative distribution function (이하 CDF)는 다음과 같이 정의된다. 이미 대부분의 주요한 property는 이전의 discrete RV에서의 포스트에서 설명이 되었으며, 이는 discrete RV 뿐 아니라 모든 RV에 적용할 수 있다. 특징 어떤 random variable X에 대해서 다음이 성립한다. CDF의 그래프는 0에서 시작해서 1에서 끝나게 되며, 단조 증가함수 (nondecresing)이다. RV의 값이 어떤 구간안에 속할 확률은 CDF 값의 차이와 같다. 이전 포스트에서 continuous RV에서는 특정 포인트에서의 확률이 정의되는것이 어려웠으나, 위와..

Conditional Probability Mass Function 어떤 event A (P[A]>0)에 대해서, random variable X의 conditional PMF는 다음과 같이 정의된다. 이전 포스트에서 우리는 conditional probability에 대해 다뤘다. 이는 PMF에도 적용할 수 있다. 즉, 어떤 특정 event가 발생했을 조건하에 probability mass function가 정의될 수 있다. 이전의 theorem을 이용하면, 여러개의 conditional PMF를 이용해서 overall PMF를 이끌어 낼 수 있다. 어떤 random variable X에 대해 event space B_1, B_2, ... , B_m 이 존재할때 다음이 성립한다. 이전에 다뤘던 law ..

Averages 흔히 말하는 평균(average)은 전체 숫자의 합을 개수로 나눈것을 말한다. 하지만 평균에는 몇 가지 종류가 있는데, 그 중 여기서는 mode, median, mean의 세가지에 대해 짚고 넘어가겠다. mode는 '최빈값'이라는 의미를 가지고 있다. 즉, 가장 빈번하게 나타나는 숫자를 나타낸다. Mode Random variable X의 mode x_mod는 다음과 같이 정의된다. 여기서는 outcome들 중 확률이 가장 높은 x_mod 값을 mode라고 할 수 있다. 다만 mode값이 하나 이상이 될 수 있으며, sample space의 구성이 숫자로 되어 있지 않더라도 mode를 구할 수 있다. Median Random variable X의 median x_med는 다음과 같이 정의..

정의 CDF를 그대로 해석하면 누적확률 분포함수가 된다. 다시 말해서 어떤 random variable X가 x이하일 확률을 나타내는 함수다. PMF와 마찬가지로 CDF역시 discrete RV가 나타내는 probability model을 완벽히 설명해 준다. 관련 정리 1 (a)는 CDF가 0에서 시작해서 1에서 끝난다는 것을 나타내고 있다. (b)를 보면 CDF는 항상 증가하는 함수 (단조 증가함수; increasing function)임을 알 수 있다. 한편 (c)에서는 특정 지점에서 값이 갑자기 변한다는 것을 알려주고 있다. (discontinuity) 다시 말해서 CDF의 그래프를 그리면 항상 계단형의 그래프가 나오게 되는 것이다. x_i는 sample space에 포함되어있기 때문에 극히 작은..

본론에 앞서 이번 포스트에서는 몇몇 주요한 discrete RV들에 대해서 다뤄보려고 한다. 실제 응용에 있어서 많은 model들을 여기서 소개하게 될 discrete RV들을 통해 modeling할 수 있다. 그만큼 여기서 소개할 내용들이 앞으로의 discrete RV part의 대부분의 중심 내용이 될 것이다. Bernoulli Random Variable PMF가 위와 같은 꼴을 가지는 RV는 Bernoulli RV라고 한다. 일반적으로 Bernoulli(p)와 같은 형태로 간단히 표시할 수 있다. Success & failure model을 설명하는데 가장 적합한 RV의 형태라고 할 수 있다. 가장 간단한 예로는 동전던지기를 들 수 있다. 앞면과 뒷면이 나올 확률이 동일하다면 p = 1/2로 설정..