Complex Fourier Integral 이전의 포스트에서 다룬 Fourier Cosine and Sine Transform은 실수 범위에 대한 Transform이다. 이제 Fourier Integral을 토대로, 복소수 범위에 대한 Transform인 Fourier Transform을 얻어 보려고 한다. 일단, 그 전에 Complex Fourier Integral을 얻어야 한다. 차근차근 식을 써 내려가 보도록 하겠다. 먼저 Fourier Integral을 다시 가져와 보면, 여기서 A(w)와 B(w)를 f(x)에 다시 집어 넣고 식을 다시쓰면, 위와 같이 정리할 수 있다. 위의 Integral을 보면, w에 관한 Integral의 경우 아래끝이 0임을 볼 수 있는데, 이것을 -∞으로 확장할 것이다..

유도 지금까지 다룬 Fourier Series는 Periodic 한 것이나, Finite Interval한 함수에 대해서는 상당히 강력한 해결도구가 되지만, Non-periodic하거나 x축 전체를 사용하는 함수에 대해서는 이를 그대로 적용하기 어렵다. 그래서 나오게 된 개념이 바로 Fourier Integral이다. Fourier Integral은 만약 Period에 사용되는 변수 L을 무한대로 보내버렸을 때에는 과연 어떻게 될 것인가에 대한 생각으로부터 출발한다. L → ∞ 에 따라서 Summation이 Integral로 바뀔 것을 예상해 볼 수 있으며, 식의 간결함을 위해서 w_n을 쓰긴 했지만, 이제 n이 integer일 필요는 없게 되었다. 따라서 이후에는 w_n 대신 w로 바꾸어 쓰게 될 것이..