유도 Unit-sequence에 대한 Response를 g[n]이라고 잡자. 그려면 다음과 같이 식을 쓸 수 있다. 이미 알다시피 u[n]은 δ[n]의 묶음이라고 볼 수 있다. 식을 통해서는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이제 두개의 식을 서로 묶어보자. 혼동을 막기 위해 u[n]쪽 Summation의 notation m 대신 p를 사용하겠다. 위 식의 괄호를 풀어내고 나서, 보면, δ[p]h[n-m]은 p = 0 일때만 0이 아닌 값을 가질 수 있다. 안쪽의 Summation에서 p는 -∞ 에서 m의 범위를 갖는데, 여기서 m은 바깥쪽 Summation의 범위를 따른다. 생각해보자. 바깥쪽이 m < 0 인 경우라면, 값은 언제나 0이 된다. 따라서 그러한 것들은 범위로 잡을 필요가 없다. 결론적으로 m..

본론에 앞서 Discrete-time LTI System에서 Impulse Response는 개별적으로 적용된다. 예를 들어 x[n] = δ[n] + δ[n-1] 이라고 한다면, 이 때의 Response y[n]은 x_1[n] = δ[n] 일때의 Response y_1[n] 과 x_2[n] = δ[n-1] 일때의 Response y_2[n] 의 합으로 구성 된다. 즉, y[n] = y_1[n] + y_2[n] 이 된다. 여기서 설명하려는 Convolution 역시 이런 성질을 십분 이용하고 있다. 유도 위와 같은 x[n]과 h[n]이 존재한다고 하자. x[n]은 무수히 많은 Impulse들의 합으로 이루어져 있다. 다만 그 Magnitude가 Cosine함수를 따라가고 있을 뿐이다. 굳이 수학식으로 나타..

개념 및 유도 Convolution은 어떤 LTI System의 Signal을 우리가 이미 알고 있는 Elementary Function으로 쪼개기 위한 것이다. Convolution을 적용하기 위해서는 그러한 Signal을 무수히 많은 Impulse들로 만드는 과정을 거쳐야만 한다. 결론적으로는 Impulse Response를 이용해서 최종적인 Response를 구할 수 있게 된다. 위의 그림에서 점선으로 나타나있는 부분을 임의로 T_p 라는 Period만큼 Approximation을 거쳤다. 이러한 경우 새롭게 만들어진 x(t)는 위와 같이 나타낼 수 있다. Unit-impulse를 만드려면 T_p를 무한히 작은 값을 가지도록 보내면 된다. 위와 같이 변환이 된다. y(t)의 경우에는, 와 같이 나타..

개요 Continuous-time LTI System을 분석하는데에는 Convolution이 사용된다. 이전의 포스팅에서는 어떤 Signal을 간단한 함수들의 Linear Combination으로 나타낼 수 있다고 가정했을 때, Linearity와 Superposition을 이용하여 각각의 간단한 함수들의 Response의 합으로 전체의 Response를 구할 수 있다고 배웠다. (링크: http://blastic.tistory.com/73, http://blastic.tistory.com/76) 이것을 역으로 생각해 보자. 어떤 LTI System이 있다고 했을 때, 우리는 여기에 t = 0에서만 1의 크기를 가지는 함수, 다시 말해서 Unit-impulse를 Input에 넣어 어떤 특정 Respons..

Existence f(x)가 x축에서 Absolutely Integrable하고, 모든 유한한 구간에서 Piecewise Continuous할때, f(x)의 Fourier Transform이 존재한다는 것이 Theorem of Existence of the Fourier Transform이다. Piecewise Continuous에 대한 내용: http://blastic.tistory.com/94 Absolutely Integrable에 대해서는 아래 링크를 참조하기 바란다. (링크: https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/Existence_Fourier_Transform.html) Absolutely Integrable을 간단히 설명하면, f(x)를 절대값으로 씌운 것, 즉 |f..

Definition Laplace Transform끼리 곱을 해보자. 그 결과를 Inverse Transform 했을 때는 어떻게 나타날까? Convolution은 이 질문에 대한 직접적인 답이 될 것이다. 먼저 이해를 돕기 위해 다음 식을 살펴보자. 거의 보통은 위 식을 만족한다. 그냥 단순히 생각해 볼 수 있는 예제 f(x) = 1, g(x) = 1 를 떠올려보자. 각각의 Laplace Transform은 1/s이다. 우변은 1/s^2가 되겠지만, 좌변은 여전히 1/s이다. 만약 Laplace Trasnform의 곱을 f와 g에 대한 식으로 나타내고 싶다면 어떻게 할까? 그래서 고안해 낸 것이 바로 Convolution이다. 표현은 다음과 같다. 이것만 가지고서는 Convolution이 정확히 어떤 ..