개념 및 유도 Convolution은 어떤 LTI System의 Signal을 우리가 이미 알고 있는 Elementary Function으로 쪼개기 위한 것이다. Convolution을 적용하기 위해서는 그러한 Signal을 무수히 많은 Impulse들로 만드는 과정을 거쳐야만 한다. 결론적으로는 Impulse Response를 이용해서 최종적인 Response를 구할 수 있게 된다. 위의 그림에서 점선으로 나타나있는 부분을 임의로 T_p 라는 Period만큼 Approximation을 거쳤다. 이러한 경우 새롭게 만들어진 x(t)는 위와 같이 나타낼 수 있다. Unit-impulse를 만드려면 T_p를 무한히 작은 값을 가지도록 보내면 된다. 위와 같이 변환이 된다. y(t)의 경우에는, 와 같이 나타..

개요 Continuous-time LTI System을 분석하는데에는 Convolution이 사용된다. 이전의 포스팅에서는 어떤 Signal을 간단한 함수들의 Linear Combination으로 나타낼 수 있다고 가정했을 때, Linearity와 Superposition을 이용하여 각각의 간단한 함수들의 Response의 합으로 전체의 Response를 구할 수 있다고 배웠다. (링크: http://blastic.tistory.com/73, http://blastic.tistory.com/76) 이것을 역으로 생각해 보자. 어떤 LTI System이 있다고 했을 때, 우리는 여기에 t = 0에서만 1의 크기를 가지는 함수, 다시 말해서 Unit-impulse를 Input에 넣어 어떤 특정 Respons..

Fourier Cosine Transform Fourier Sine Transform Fourier Transform Laplace Transform과 마찬가지로 모든 경우에 대해서 Fourier Transform을 외우는 것이 어렵기 때문에, 여러가지 경우에 대해서, 이러한 Table을 만들어 그때그때 참고하도록 한다. 위에서 설명되지 않은 함수들은 다음 링크를 참조하기 바란다. Γ(k) - http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

왜 FFT를 사용하는가? DFT를 통해서 f(x)의 Frequency Spectrum을 볼 수 있다. 일반적으로 DFT를 수행하기 위해 몇번의 계산을 거쳐야 할까. 이 식을 계산하려면 n번 더해야 한다. 이러한 계산을 다시 n번만큼 해줘야 최종 DFT를 얻는다. 즉, n^2번의 계산이 필요한 셈인데, 만약 데이터 갯수가 1천개라면, 백만번의 계산을 해야한다는 결론이 나온다. Fast Fourier Transform(FFT)를 사용하는 이유는 이 계산 수의 절반이하 수준의 계산수를 통해 Aliasing을 피하면서 같은 결과를 얻을 수 있기 때문이다. Aliasing이라는 것은, 차이가 모호해지는 것 정도로 이해하고 있으면 된다. 이유는 간단하다. Sampling의 빈도가 낮아진다는 것은 곧, DFT의 기반..

개요 어떠한 경우에는 함수 대신 Sampling 된 데이터에 대해서 Fourier Transform을 해야할 경우가 있다. 이때 사용하는 것이 Discrete Fourier Transform이다. 유도 먼저 f(x)가 Periodic 하다고 가정하자. 편의상 Period를 2π로 잡자. 그리고 이 Period에서 N만큼의 Sample을 얻었다고 하자. 그러면 어떤 Sample Point x_k는 다음과 같이 표시할 수 있다. 즉, f(x)가 이러한 Points에 대하여 Sampling 되었다고 할 수 있다. 위 식은 Complex Trigonometric Polynomial q(x)를 나타낸 것으로, f(x)를 이러한 q(x)의 형태로 나타낼 수 있다고 했을때, x 대신 x_k를 넣어 식을 다시 써보면,..

Existence f(x)가 x축에서 Absolutely Integrable하고, 모든 유한한 구간에서 Piecewise Continuous할때, f(x)의 Fourier Transform이 존재한다는 것이 Theorem of Existence of the Fourier Transform이다. Piecewise Continuous에 대한 내용: http://blastic.tistory.com/94 Absolutely Integrable에 대해서는 아래 링크를 참조하기 바란다. (링크: https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/Existence_Fourier_Transform.html) Absolutely Integrable을 간단히 설명하면, f(x)를 절대값으로 씌운 것, 즉 |f..