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[Random Vector] Marginal Probability Functions

2012. 3. 9. 01:08

Marginal PMF

Discrete RV W,X,Y,Z의 Joint PMF P_W,X,Y,Z(w,x,y,z)에 대한 marginal PMF의 몇 가지 예제는 다음과 같다.

\begin{array}{rll} P_{X,Y,Z}(x,y,z) &=&\displaystyle \sum\limits_{w\in S_W}P_{W,X,Y,Z}(w,x,y,z)\\ P_{W,Z}(w,z)& =& \displaystyle\sum\limits_{x\in S_X}\sum\limits_{y\in S_Y}P_{W,X,Y,Z}(w,x,y,z)\\ P_{X}(x)& =& \displaystyle\sum\limits_{w\in S_W}\sum\limits_{y\in S_Y}\sum\limits_{z\in S_Z}P_{W,X,Y,Z}(w,x,y,z) \end{array}

이전에 배웠던 pairs of RV의 marginal PMF에서 random variable만 추가되었다.
Experiment를 분석하는데 있어서, 여러개의 random variable에서도 원하는 RV에 대해서만 파악하고자 할때는
marginal PMF를 구하는 방법을 사용할 수 있다.




Marginal PDF

Continuous RV W,X,Y,Z의 Joint PDF f_W,X,Y,Z(w,x,y,z)에 대한 marginal PDF의 몇 가지 예제는 다음과 같다.


PDF에서도 마찬가지다. 줄여야할 random variable의 숫자만큼 계속 누적해서 전체범위에 대한 integral을 한다.



예제

Y_1~Y_4가 다음과 같은 PDF를 가진다고 하자.

f_{Y_1,Y_2,Y_3,Y_4}(y_1,y_2,y_3,y_4) = \begin{cases} 4 & 0\leq y_1 \leq y_2 \leq 1,0\leq y_3 \leq y_4 \leq 1 ,\\0&otherwise \end{cases}


이 때, 다음의 marginal PDF를 구하자.

f_{Y_1,Y_4}(y_1,y_4),~f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3),~f_{Y_3}(y_3)


먼저 앞선 정리에 의해서 식을 써 보면,

\displaystyle f_{Y_1,Y_4}(y_1,y_4)= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y_1,Y_2,Y_3,Y_4}(y_1,y_2,y_3,y_4) ~dy_2dy_3


이다. 여기서 integral에 올바른 위끝 아래끝을 정해줘야 하는데,
각각의 limit을 구하는 방법은 처음의 joint PDF 식에서 y_1과 y_4에 대한 범위를 각각 찾으면 된다.
여기서는 0 ≤ y_1 ≤ 1, 0 ≤ y_4 ≤ 1 를 만족하므로,
이에 대한 y_2와 y_3의 위치를 고려하여 식을 다시 쓰면,

\displaystyle f_{Y_1,Y_4}(y_1,y_4)= \int_{y_1}^{1} \int_{0}^{y_4} 4 ~dy_3~dy_2 = 4(1-y_1)y_4


이라고 할 수 있다. 최종적으로 정리하면,

\displaystyle f_{Y_1,Y_4}(y_1,y_4)= \begin {cases}4(1-y_1)y_4&0\leq y_1\leq 1, 0 \leq y_4 \leq 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}


위와 마찬가지 방법으로 다음을 구할 수 있다.

\displaystyle f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3)= \begin {cases}4y_2(1-y_3)&0\leq y_2\leq 1, 0 \leq y_3 \leq 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}


마지막으로 f_{Y_3}(y_3)은 위에서 구한 marginal PDF를 다시 한번 이용하면 되겠다.

\begin{array}{rll} \displaystyle f_{Y_3}(y_3) &=&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3) ~dy_2 \\ &=& \displaystyle \int_0^1 4y_2(1-y_3)~dy_2\\&=& \begin{cases}2(1-y_3)&0\leq y_3 \leq 1\\0 & otherwise \end{cases} \end{array}


Vector notation을 이용한 경우에도 marginal PDF, PMF를 사용하는 방법은 별 다를 것이 없다.

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