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[Random Vector] Vector Notation

2012. 3. 8. 01:45

Random Vector

Random variable인 X_i 에 대해서 random vector는 다음과 같이 정의된다.

\bold{X} = [X_1 ~\cdots ~X_n]'


어떤 experiment가 두 개 이상의 random variable을 만들어낼 때, 
vector 또는 matrix를 이용한 notation은 probability model에 대해서 조금 더 간결한 표현을 가능하게 한다.
위 정의에서 n = 1인 random vector는 곧 random variable이라고 볼 수 있을 것이다.



Vector Sample Value

어떤 random vector의 어떤 sample value는 column vector로 다음과 같이 정의 된수 있다.

\bold{x} = [x_1 ~\cdots ~x_n]'


i번째의 component x_i는 곧 random variable X_i의 sample value라고 할 수 있겠다. 
정리하면, Random vector을 이루는 random variable들이 어떤 특정한 값을 가질 때,
그 값은 column vector를 구성하게 된다.
즉 X는 random vector이고 x는 X의 sample value라고 볼 수 있다.



Random Vector Probability Functions

Random vector X에 대해서 다음과 같이 정의된다. 

\\\begin{array}{ll}(a)&The~\bold{CDF~of~a~random~vector~X}~is~F_\bold{X}(\bold{x}) = F_{X_1,\cdots,X_n}(x_1,\cdots,x_n) \\ (b)&The~\bold{PMF~of~a~discrete~random~vector~X}~is~P_\bold{X}(\bold{x}) = P_{X_1,\cdots,X_n}(x_1,\cdots,x_n) \\ (c)&The~\bold{PDF~of~a~continuous~random~vector~X}~is~f_\bold{X}(\bold{x}) = f_{X_1,\cdots,X_n}(x_1,\cdots,x_n) \end{array}


앞선 포스트에서 다룬 multivariable joint CDF, PMF, PDF는 위와 같이 간단하게 쓸 수 있다.



Probability Function of a Pair of Random Vectors

n개의 component로 이루어진 random vector X와 m개의 component로 이루어진 random vector Y에 대해

\\\begin{array}{ll}(a)&The~\bold{joint ~CDF}~of~\bold{X}~and~\bold{Y}~is~F_\bold{X,Y}(\bold{x,y}) = F_{X_1,\cdots,X_n,Y_1,\cdots,Y_m}(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m) \\ (b)&The~\bold{joint ~PMF}~of~\bold{X}~and~\bold{Y}~is~P_\bold{X,Y}(\bold{x,y}) =P_{X_1,\cdots,X_n,Y_1,\cdots,Y_m}(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)\\ (c)&The~\bold{joint ~PDF}~of~\bold{X}~and~\bold{Y}~is~f_\bold{X,Y}(\bold{x,y}) = f_{X_1,\cdots,X_n,Y_1,\cdots,Y_m}(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m) \end{array}


위와 같이 정의된다. Vector끼리도 다시 joint가 가능하다는 것을 볼 수 있다.


한편, 위와 같이 두 개의 vector을 이어 새로운 random vector W를 정의할 수 있고, 

F_\bold{W}(\bold{w}) = F_\bold{X,Y}(\bold{x,y})


이 성립한다.



예제


Random vector X가 위와 같은 PDF를 가진다고 하자.
a = [1 2 3]' 이라고 할때, X의 CDF를 구하라.

a가 3개의 component를 가지고 있기 때문에 X는 3차원 random vector라고 할 수 있다.
a'x를 확장시켜 우리는 PDF를 다음과 같이 쓸 수 있다.

f_\bold{X} (\bold{x}) = \begin{cases} 6e^{-x_1-2x_2-3x_3}&x_i \ge 0 \\ 0 & otherwise \end{cases}


이제 이전 포스트의 multivariable PDF와 CDF의 관계를 이용해, 위 식을 적분하면,

\begin{array}{rll}F_\bold{X} (\bold{x}) &=& \int_{-\infty}^{x_1} \int_{-\infty}^{x_2} \int_{-\infty}^{x_3} f_{X_1,X_2,X_3} (u_1,u_2,u_3) ~du_1 du_2 du_3\\&=& \begin{cases} 6 (1-e^{-x_1}) (1/2) (1-e^{-2x_2})(1/3)(1-e^{-3x_3})&x_i \ge 0 \\ 0 & otherwise \end{cases} \\&=& \begin{cases} (1-e^{-x_1}) (1-e^{-2x_2}) (1-e^{-3x_3})&x_i \ge 0 \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{array}


위와 같이 풀이할 수 있다.

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