[Continuous-time] Introduce to Fourier Series
2011. 2. 22. 00:12
Signals and Systems에서의 Fourier Series
이전 포스트에서 Signal을 Decompose하는 방법 중 하나인 Convolution에 대해 다뤄보았다.
Convolution은 어떤 Signal을 수많은 Basic Elementary Function들로 나눌 수 있게 만드는 도구가 된다.
여기서 소개하려는 것은 Fourier Series라고 하는 새로운 Decompose Tool이다.
Convolution이 Impulse들의 합이었다면, 여기서는 Sinusoid의 합으로 어떤 Signal을 나타내게 될 것이다.
물론 Real Form이 나올 수도 있고, Complex Form이 될 수도 있다.
이러한 발상을 통해 Signal을 Frequency Domain으로 나타낼 수 있는 방법을 배우게 될 것이고,
시간 대신 Frequency를 통해 Signal을 분석할 수 있게 된다.
이를 통해 System의 원리를 분석할 수 있는 힘을 기를 수 있을 뿐 아니라,
System을 쉽게 분석하고, 설계할 수도 있다.
Derivation of Trigonometric Fourier Series
다음의 링크를 참조하기 바란다.
Some Different Notations
위의 링크를 따라가다 보면 이러한 식을 만날 수 있다.
이것은 Trigonometric Fourier Series이다.
이것은 단순히 어떤 함수 f(x)를 Sinusoidal 한 모양들로 바꿔놓을 뿐이다.
이제 요 녀석을 이제 Signals and Systems에 맞게 Complex Exponential Form으로 바꿔보려고 한다.
바뀐 모양은 아래와 같다.
차근차근 설명해보면,
먼저 우리는 어떤 time (t)와 관련된 Signal x(t)에 대한 Fourier Series를 얻고자 한다.
따라서 위 식에서는 x대신 t를, f(x) 대신 x(t)를 사용하고 있다.
이미 알고 있듯이 Fourier Series는 어떤 Periodic Function을 나타내는데 적합하다.
Periodic함을 나타내기 위해서, Fundamental Period의 앞자를 딴 F를 붙여 x(t) 대신 x_F(t)라고 표현하고 있다.
또한, 여기서는 n 대신 k라는 harmonic number를 사용하고 있다.
한편 Trigonometric FS에서 Period p = 2L로 되어있는데, Fundamental Period는 T_F로 표시하므로,
T_F = 2L
∴ L = T_F/2
1/T_F = 1/2L = f_F
∴ 1/L = 2f_F
로 바뀌어 쓰인다.
또한, a_n, b_n 대신 k에 관한 함수의 꼴, 즉 X_c[k], X_s[k]로 나타내고 있음을 볼 수 있다.
여기에서 c와 s는 각각 Cosine과 Sine의 앞글자를 가져온 것이다.
이제는 Exponential Form을 구해야 하는데, 다음과 같은 관계를 통해 얻을 수 있다.
X_c[0] = X[0]
X_s[0] = 0
X[k] = (X_c[k] - jX_s[k])/2
X[-k] = X*[k] = (X_c[k] + jX_s[k])/2
앞으로 다룰 Continuous-time Fourier Series, 줄여서 CTFS는 Exponential Form으로 대부분 서술 될 것이다.
(T_F는 Fundamental Period를 나타낸다.)
