[Discrete-time] Unit-sequence Response

유도

Unit-sequence에 대한 Response를 g[n]이라고 잡자.

그려면 다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

이미 알다시피 u[n]은 δ[n]의 묶음이라고 볼 수 있다.

식을 통해서는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이제 두개의 식을 서로 묶어보자. 혼동을 막기 위해 u[n]쪽 Summation의 notation m 대신 p를 사용하겠다.

위 식의 괄호를 풀어내고 나서, 보면, δ[p]h[n-m]은 p = 0 일때만 0이 아닌 값을 가질 수 있다.

안쪽의 Summation에서 p는 -∞ 에서 m의 범위를 갖는데, 여기서 m은 바깥쪽 Summation의 범위를 따른다.

생각해보자. 바깥쪽이 m < 0 인 경우라면, 값은 언제나 0이 된다. 

따라서 그러한 것들은 범위로 잡을 필요가 없다. 결론적으로 m = 0 이후부터 의미가 있다고 볼 수 있다.

또한 그러한 경우에는 안쪽의 Summation은 언제나 1이 된다.

따라서 식은 다음과 같이 간단해진다.

식을 좀 더 간단히 하기 위해서, n - m = p로 놓는다면, m = n - p

m = 0 → p = n

m = ∞ →  p = -∞

이므로,

Unit-sequence Response

위와 같이 구할 수 있다.

결론

결론적으로 Unit-sequence Response는 Impulse Response의 Accumulation이라고 볼 수 있다.

굳이 한글로 풀어내자면 '누산'이며, 좀 더 이해하기 쉽게 말하면, Continuous-time에서는 적분과도 같다.

위에서 g[n] 이라고 표현한 것은 h_{-1}[n] 이라고도 표현 되며, 

여기서 -1이 의미하는 것은 Impulse Response h[n] 으로부터 1단계만큼 Accumulate 되었다는 표현이기도 하다.