[Discrete-time] Impulse Response
2011. 2. 20. 22:45
개요
Continuous-time에서와 마찬가지로, Discrete-time에서도 Convolution이 존재한다.
또한 여기에서도 Impulse Response를 통해 LTI System의 다른 Input Signal의 Response를 분석할 수 있다.
따라서, 본격적으로 Convolution에 대해 다루기 전에,
Discrete-time의 Impulse Response를 먼저 다루도록 하겠다.
(Discrete-time에서는 Convolution Sum 이라고 하기도 한다.)
Finding Impulse Response
Unit-impulse Function δ[n]은 n=0 일때만 크기 1의 Signal을 가지는 녀석이다.
Impulse Response에서 어떠한 System에 들어갈 Input Signal은 오로지 δ[n] 뿐이다.
예를 들어 다음과 같은 Difference Equation을 생각해보자.
y[n] 대신 Impulse Response h[n]으로 바꾸어 표시했다.
이 System이 Causal 하다면, n = 0 이전에는 Excitation이 존재하지 않았을 것이다.
즉 n < 0 에서 h[n] = 0 이다.
n > 0에서의 Solution은 위의 Difference Equation의 Homogeneous Solution이 될 것이라는 것은
n > 0 에서 δ[n] = 0 인 것만 봐도 충분히 예상할 수 있는 대목이다.
여기서의 Homogeneous Solution은 Initial Condition을 적절히 대입해야 얻을 수 있다.
우리는 이러한 Initial Condition을 간단한 귀납으로 얻어낼 수 있다.
이전 시간의 Excitation과 Response가 현재의 Response를 결정짓기 때문이다.
식을 간단히 정리해 보면, 이 말 뜻을 이해할 수 있다.
우변은 모두 과거형, 좌변은 그 과거의 결과가 되는 현재형이다.
이러한 방법으로 n ≥ 0 에서의 Solution 역시 구할 수 있다.
More General Form
우변이 좀 더 확장되었다.
다만 여기서 겁먹을 필요는 없다. 이 식이 LTI System이기 때문에,
우리는 우변의 각 항을 따로따로 떼어놓고 생각할 수 있다.
즉, 아래 식의 각각의 Difference Equation을 풀어주면 된다.
거의 모든 Equation이 Impulse가 나타나는 시간만 다를 뿐 거의 흡사하다.
따라서 이전 단계의 Impulse Response를 h*[n] 이라고 한다면,
여기서의 Impulse Response는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Example
8y[n] + 6y[n-1] = x[n]
다음에 대해서 Impulse Response를 구해보자.
Causal하므로 n < 0 에서는 h[n] = 0 이다.
n ≥ 0 에서는 Homogeneous Solution을 구하면, 간단한 First-order ODE므로 모양은 다음과 같다.
이제 Initial Condition을 사용, C_n을 구하면 끝이다.
따라서 최종적으로 Impulse Response는 아래와 같다.
