[Continuous-time] Impulse Response
2011. 2. 18. 19:28
개요
아래 Example을 통해서 Impulse Response를 구하는 방법을 알아보도록 하자.
Continuous-time LTI System을 분석하는데에는 Convolution이 사용된다.
이전의 포스팅에서는 어떤 Signal을 간단한 함수들의 Linear Combination으로 나타낼 수 있다고 가정했을 때,
Linearity와 Superposition을 이용하여 각각의 간단한 함수들의 Response의 합으로
전체의 Response를 구할 수 있다고 배웠다.
이것을 역으로 생각해 보자.
어떤 LTI System이 있다고 했을 때, 우리는 여기에 t = 0에서만 1의 크기를 가지는 함수,
다시 말해서 Unit-impulse를 Input에 넣어 어떤 특정 Response를 얻어 낼 수 있다고 하자.
그렇다면 어떤 임의의 Input signal이 여러 Impulse의 Linear Combination으로 나타낼 수 있게 된다면,
우리는 그런 Input에 대해 이미 얻어낸 Response를 가지고
새롭게 넣은 임의의 Input에 대한 Response를 얻을 수 있는데,
이러한 과정에서 사용되는 방법이 바로 위에서 언급한 Convolution이다.
그렇다면, Convolution을 사용하기 전에 선행되어야 할 작업은
Unit-impulse만을 사용했을 때 얻게되는 Response를 구하는 것이다.
이것을 간단히 말해 Impulse Response라고 부른다.
Impulse Response는 보통 h(t)로 표시한다.
아래 Example을 통해서 Impulse Response를 구하는 방법을 알아보도록 하자.
Example
y'(t) + ay(t) = x(t)
Impulse Response를 구해보자.
먼저 주어진 식을 위와 같이 다시 쓸 수 있다.
(Input은 Unit-impulse를 나타내는 δ(t), Response는 Impulse Response h(t)로 바뀌었다.)
먼저 System이 Causal하고, t = 0 이전에는 Input이 존재하지 않으므로,
h(t) 역시 t = 0 이전에는 Response가 존재하지 않는다.
t > 0 에서는, Homogeneous Solution, 즉 h'(t) + ah(t) = 0 의 해를 구하면 된다.
Differential Equation에서 배웠듯이 일반적으로 Ke^{-at} 가 성립한다.
이제 남은것은 t = 0일때가 되겠다.
이 때의 Response를 구하려면 원래 Equation으로 돌아와서, 임의로 양변을 0- ~ 0+ 까지 적분해 보아야 한다.
(우리는 이를 통해 K의 값을 구할 것이다.)
다른 것은 따로 설명할 필요가 없을 것 같고, h(t)의 Integral에 대해서는 조금 부연설명이 필요할 것 같다.
먼저, ODE의 Particular Solution은 오로지 t에 관련된 함수들의 Linear Combination과
그의 유일한 Derivative들로 이루어져야 한다.
하지만 Impulse는 Derivative가 유일하지 않으며 Second-level Derivative, Third-level Derivative.... 등등
전부다 유일하지 않다. 다만 t = 0에서만 존재한다. 따라서 Impulse나 그의 Derivative들은 Solution이 될 수 없다.
대략 경우의 수는 두가지다.
h(t)가 t = 0에서 Impulse 또는 Higher-order Singularity를 가지지 않는 경우, 가지는 경우
Higher-order Singularity라는 것은 좀 더 높은 차원에서 미분되지 않는 것을 말한다.
여기서는 t = 0 에서 미분되지 않는 것을 의미한다.
만약 전자라면 h(t)의 Integral은 무조건 0이다. 후자라면, 좌변과 우변이 같아야 하지만,
우변에서는 Impulse의 Second-level Derivative나 Higher-order Singularity를 가질 수 없으므로,
조건이 성립되지 못한다. 따라서 h(t)의 Integral은 0 값을 가지고 K = 1이다.
h(t)는 0 이하에서 정의되지 않으므로
h(t) = Ke^{-at} = Ke^{-at} u(t) = e^{-at} u(t)
이렇게 해서 Impulse Response를 구했다.
Convolution에 대해서는 다음 포스트에서 본격적으로 알아보도록 하겠다.