[Laplace Transforms] Differentiation and Integration of Transforms
2011. 2. 11. 18:53
Differentiation of Transforms
이번엔 Laplace Transforms 자체를 미분과 적분을 해보려고 한다.
먼저 F(s) 대해 미분을 해보자.
위와 같은 결론을 얻을 수 있는데, 이것이 의미하는 것을 정리해 보면 아래와 같이 쓸 수 있다.
원래 함수 앞에 t가 붙는 경우, Transform에 미분의 효과를 미치는 것을 볼 수 있다.
좀 더 자세한 접근을 위해 예제를 풀어보도록 하자.
Example 1
t f(t) = t sin αt
위 식을 Laplace Transform 해보자.
정의를 이용하면 쉽게 풀 수 있다.
Integration of Transforms
이번엔 F(s)를 적분할 차례다.
s를 Integrating 해줄 변수는 혼란을 방지하기 이해서 s위에 tilde를 올려놓을 것이다. 유의하기 바란다.
정리해 놓은 결과는 아래와 같다.
적분에서도 마찬가지로 t가 결부되어 있는 것을 볼 수 있다.
Linear ODEs with Variable Coefficients
이전의 포스트 (링크: http://blastic.tistory.com/94)에서 Derivative의 Laplace Transform을 다뤘었다.
주요 식을 다시 가져와 보면,
만약 f 앞에 Variable Coefficient, 즉, t 따위가 붙어있다면 어떨까?
위에서 우리는 이미 Laplace Transform의 Differentiation을 다뤘기 때문에 쉽게 풀어낼 수 있다.
f(0)항은 Constant임으로 삭제되고, f의 Laplace Transform 역시 s에 관계된 식이기 때문에,
위와 같은 형태의 미분으로 남게 된다.
이번엔 Second-level Derivative의 앞에 t가 붙어있을 경우에 대해서 풀이해 본것이다.
이를 실제 식에서 어떻게 적용시킬 수 있는지 살펴보자.
Example 2: Laguerre's Equation
Laguerre's Equation은 다음과 같이 정의된다.
ty'' + (1 - t)y' + ny = 0
위에서 이끌어낸 식들을 토대로 Laplace Transform을 수행해보면,
위에서 구한 Differentiation of Transforms에 의해 식을 간단히 풀어낼 수 있었다.
여기서, 최종적으로 나오는 Y의 꼴은 상당히 복잡하게 되어있는데,
우리는 여기서 Rodrigues' Formula라고 불리는 다음 식의 정의를 만날 수 있다.
어떻게 이런 식이 가능하게 되는지는 다음 증명을 통해 구할 수 있다.
