[Continuous-time] System Properties_1

System에는 System의 유형을 설명해주는 몇 가지 유형들이 있는데, 

이번 포스트에서는 그러한 것들에 대해 다뤄보려고 한다.

유형들을 알아보기 이전에 다뤄야할 몇 가지 용어에 대해서 설명한 이후에 시작하도록 하겠다.

Zero-state Response

Electric circuit에서 RL, RC, RLC Circuit에 대해 다룰 때, 

t = 0이 되는 순간 Switching을 통해 회로에 전류를 흘려보내거나 

전류의 방향을 바꾸는 등의 동작을 했던 기억이 있을 것이다.

여기서 설명하는 Zero-state Response도 그와 비슷한 느낌이라고 생각하면 된다. (같은 것은 아니다)

Zero-state Response의 정의는, System 자체가 Zero State, 즉 0인 상태인것을 의미한다.

즉, System 자체가 에너지를 가지고 있지 않은 상태로서, 

과거의 System의 상태가 그 이후에 Output Signal에 있어서 영향을 미치지 않게 된다.

회로의 경우에서 예를 들면 Capacitor나 Inductor에 에너지가 축적되지 않은 상태와 같은 것이다.

Zero-state Response는 ZSR로 축약되기도 하며, Forced Response, Driven Response 등으로 불리기도 한다.

Zero-input Response

말 그대로 Input이 없는 상태에서의 Response를 의미하는 것으로,

System 자체의 구성, 혹은 에너지 등에 의해 출력되는 Output을 의미한다.

Zero-input Response는 ZIR로 축약되기도 하며, Natural Response라고 하기도 한다.

만약 회로 자체에 어떤 Energy가 축적된 상태에서 Input을 걸어준다면

어떠한 System 전체의 Response는 Zero-input Response와 Zero-state Response으로 분리할 수 있을 것이다.

Homogeneity

여기서는 그런 유형들에 대해서 다뤄보도록 하겠다. 그중 가장 기초적인 것이 Homogeneity이다.

Homogeneous System은 어떤 Input signal에 어떤 상수(복소수 가능)를 곱하여 System을 통과시켰을때,
Output signal 역시 원래의 Output signal에 그 상수를 곱한 결과가 나오는 것을 말한다.
(Output signal은 Zero-state Response여야 한다.)

Non-Homogeneous System의 예로는 Output Signal에 어떠한 상수 term이 포함된 것을 생각해 볼 수 있다.

즉, x(t) = y(t) + 1 과 같은 예에서는 Kx(t) ≠ Ky(t) + 1이다. 

Time Invariance

x(t)의 Input signal을 보내면 y(t)의 Output signal을 내보내는 System에서

t_0만큼 지연된 시간의 Input signal을 입력하면 그만큼 지연된 Output signal이 나올때,

그 System을 Time Invariant System이라고 말한다. (단, system은 최초에 zero state 이다.)

한편, Time Variant System의 예로는 기온에 따라 저항값이 바뀌는 회로를 생각해 볼 수 있다.

기온이라는 것이 시간에 따라서 계속 변화한다면, 저항값 역시 바뀌게 될 것이고, 

이 저항에 흐르게 되는 전류나 전압값이 경우에 따라서 다양하게 변하게 된다.

기온이 불규칙하게 변한다면, 결과 역시 불규칙하게 된다. 이러한 경우 이 회로는 Time Variant System이다.

Additivity

조건은 위와 같다. 쉽게 말해서 서로 다른 두개의 Input을 더해서 나온 Output을 원래의 Outputs로 쪼갤 수 있으면

그 System은 Additive System이다.

대부분의 System이 이 Property를 가지지만, 그렇지 않은 System도 존재한다.

가장 보편적인 Non-additive System은 간단한 Diode Circuit이다.

오른쪽에 보이는 것은 Diode라는 소자인데, 삼각형이 가르키고 있는 방향으로 흐르는 전류는 흘려보내지만

역방향의 전류는 흘려보내지 않는다. (이론적으로는 0이지만 실제로는 아주 조금 흐른다.)

만약 V_1에 1V의 전압을, V_2에 -1V의 전압을 걸어준다고 가정하자.

그리고 이 회로가 Additive 하다고 가정하면 흐르는 전류는 I_1 + I_2 라고 할 수 있을 것이다.

둘을 동시에 연결하는 경우에는 흐르는 전류는 0이 된다. (전압이 없으므로)

V_1을 단독으로 연결하는 경우에 I_1의 전류가 흐르겠지만

V_2를 단독으로 연결하는 경우에는 회로에 전류가 거의 전류가 흐르지 않는다. I_2는 거의 0에 가까울 것이다.

그렇게되면 I_1과 I_2를 더했을 때 0이 되지 않게되고 원래 가정에 모순이 생긴다. 

따라서 이 System은 Non-Additive 하다는 결론이 나오게 된다. 

Linearity

어떤 System이 Homogeneous하며 동시에 additive한 경우 Linear System이라고 한다.

Linear System의 이러한 속성을 Superposition이라고 한다.

이러한 경우 Output을 완벽히 각각의 Input과 관계된 각각의 Output들로 완벽히 분리할 수 있다.

어떠한 거대한 Linear System의 경우 전체를 한꺼번에 분석하기 어려운 경우가 많은데,

이런 경우 각각을 떼어놓고 생각하면 분석하기 쉽게된다. 

Linearity와 Superposition은 System 분석의 강력한 도구가 되는 것이다.

또한 Linear System은 다른 System이라 하더라도 같은 방법으로 분석이 가능하지만, 

Non-linear System의 경우 자체적인 분석방법을 고안해야할 뿐 아니라 

서로 다른 System에는 제각각의 분석방법이 필요하다.

Linearizing

보편적 분석 방법 중에는 Non-linear System을 Linearizing하는 방법이 있다.

하지만 system 자체가 linear하지 않기 때문에 이 분석은 정확한 편은 아니며,  

Linearizing을 한다고 해서 System이 Linear하게 바뀌는 것 역시 아니다.

대부분의 Linearizing은 Approximation을 통해서 이루어지는데,

System 전체를 통틀어 봤을때, linear하게 바꾸더라도 그다지 큰 영향을 미치지 않는 것들,

예를 들면 너무나 작은 값이라서 무시해도 된다든지, 다른 Linear한 함수로 바꾸어 쓸 수 있는 경우를 의미한다.

이러한 경우에는 Linearizing을 통해 약간은 다르지만 거의 비슷한 Linear System을 만들어 

이것을 분석함으로써 Non-linear System을 분석하게 되는 것이다.

LTI (Linear, Time Invariant System)

가장 보편적인 유형의 System은 LTI, 즉 linear한 동시에 time Invariant한 경우를 말한다.

앞으로 다루게 될 많은 System들은 대부분 LTI인 경우가 많을 것이다.

지금은 아니지만 이후 LTI가 중요하게 다뤄지게 되는데, 

LTI에서는 Input과 Output Signal이 Real Part와 Imaginary Part로 이루어지더라도,

Real Part와 Imaginary Part를 각각 따로 떼어놓고 생각할 수 있다는 강력한 장점을 갖고 있기 때문이다.