[Discrete-time] Even and Odd Functions

정의 및 속성

아무래도 Discrete-time Signal은 Continuous-time과 연관성이 많게 되어 자꾸 비교하게 되는데,

이번 포스트 역시 비교의 연속이 될 것 같다.

결론부터 이야기하면, 두 Signal의 Even Function과 Odd Function에서의 정의와 속성은 거의 차이점이 없다.

Even Function: g[n] = g[-n]

Odd Function: g[n] = -g[-n]

g(t)에서 g[n]으로 바뀌었을뿐이다.

▲ 두개의 Even Function, 두개의 Odd Function, 서로 다른것 끼리 곱한 결과

또한, 두개의 Even Function의 덧뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 결과는 Even Function이며,

두 개의 Odd Function의 덧뺄셈의 결과는 Odd Function,

두 개의 Odd Function의 곱셈, 나눗셈의 결과는 Even Function,

Even Function과 Odd Function의 덧뺄셈의 결과는 알 수 없음,

Even Function과 Odd Function의 곱셈, 나눗셈의 결과는 Odd Function,

결론적으로는 Continuous-time에서와 다를 것이 전혀 없다.

Accumulation

Continuous-time 에서 Even Function과 Odd Function에서 정적분의 범위를 특정하게 설정했을 때,

식이 간단해 지는것을 보았다. 물론 Discrete-time 에서도 가능하다.

특이한 것은 Even Function인데, 이전의 포스트에 Rectangle Function에서 언급되었듯이,

위의 식에서 Summation이 포함하고 있는 index의 범위는 2N+1이 된다.

다시말해서 항상 홀수이기 때문에, Continuous-time에서와 같이 둘로 나눌 수 없다.

이는 g[0] 값이 겹쳐지기 때문이다. 따라서 이 값을 제외한 나머지를 두 배하고, 

여기에 제외했던 g[0]을 추가하고 있는 모양새를 취하고 있는 것이다.