[Discrete-time] Differencing and Accumulation

Differencing

Continuous-time에서 Differentiation(미분)을 한다면 여기서는 Differencing을 하게된다.

한글로 표현하기 애매한데, 굳이 한글로 하자면 '차이 구하기'정도가 될 것 같다.

Differentiation의 기본 개념은 위와 같다. 이미 고등학교때 익숙히 보아왔던 것이리라 믿는다.

위에는 3개의 식이 나오는데 결론은 모두 같다. 

하지만, △t 가 0으로 무한히 가까워지지 않는다면 3개의 식을 같다고 할 수 없을 것이다.

짐작했겠지만, Discrete-time에서 0으로 무한히 가까워지는것은 없다.

따라서 Differencing에는 두 가지 경우가 존재한다.

Forward Difference of g[n]: g[n+1] - g[n]

Backward Difference of g[n]: g[n] - g[n-1]

Backward Difference of g[n]은 곧 Forward Difference of g[n-1]과 같다고 단번에 알아차릴 수 있다.

둘의 대략적인 차이는 다음과 같다. 어떤것을 택하느냐에 따라서 그래프의 모양이 달라질 것이다.

따라서 주어진 상황에 알맞게 써야 하겠다.

Accumulation (Summation)

한편 Continuous-time에서의 Integration은 여기서는 Accumulation (혹은 Summation)으로 대체된다.

Signal에서의 Accumulation의 정의는 다음과 같다.

 

즉, 어떤 Accumulation Signal g[n]은 h[m]들의 총합이며, 여기서의 m은 n 이전의 모든 index를 지칭한다.

한 가지 재밌는것은 h[n] = g[n] - g[n-1]의 관계식을 만족한다는 것이다.

(미분과 적분의 관계를 이해한다면 이것이 그다지 신기하게 여겨지지는 않을 것이다.)

또한 h[n] = g[n] - g[n-1]의 양변을 accumulate하여 정리하면 다시 위의 공식이 도출될 것이다.

Relationship of Singularity Functions

앞서 다루었던 Singularity Function들은 

서로 Accumulation이나 Differencing을 통해 얻을 수 있는 경우가 생기는데,

다음과 같은 관계식이 가능하다.