[Discrete-time] Signals and Functions
2011. 1. 28. 23:41
정의
Discrete-time Signal은 특정한 지점의 시간에서만 값이 정의되는 Signal이다.
Discrete-time Signal은 보통 Continuous-time Signal을 Sampling해서 만들게 된다.
Sampling은 보통 일정한 간격으로 하게 되는데, 이를 uniform sampling 이라고 한다.
위 그림에서는 T_s 간격으로 Sampling을 하고 있는걸 볼 수 있다.
정의는 위와 같다.
일반적으로 parenthesis(괄호)를 사용하는 Continuous-time Signal과 달리,
Discrete-time Signal은 square bracket(꺽쇠괄호 [])를 사용하게 된다.
위에서는 g(t)가 g[n]으로 바뀌어있는 것을 볼 수 있다.
대신 n에는 항상 정수가 들어가게 된다.
일반적으로 Discrete-time Signal에서는 g[2.5], g[43.149572] 같은 것은 정의되지 않는다.
위는 Discrete-time Signals의 예를 보여주고 있다. 그래프는 마치 줄기같다고 하여 stem 이라고 불리며,
위와 같은 그래프를 stem plot이라고 한다.
Sinusoids
Sinusoids는 Continuous-time에서와 마찬가지로 Discrete-time Analysis에도 중요한 역할을 한다.
먼저 일반적인 모양을 살펴보자.
A와 N_0는 실수, θ는 phase (radian값)이며, 나머지는 위의 설명과 같다.
A는 Amplitude를, N_0는 Fundamental Period를 나타낸다.
F_0는 Fundamental Frequency를 나타낸다.
Ω_0는 Fundamental Radian Frequency를 나타낸다.
Discrete-time Signal이 Continuous-time Signal과 가장 다른 점은, Period를 곧바로 판단할 수 없다는 점이다.
심지어 어떤 경우에는 periodic 하지않을 수도 있다.
먼저, Continuous-time과의 관계를 좀더 명확히 하기 위해서 식을 써보도록 하자.
Sampling에 대한 정의를 바탕으로 관계를 살펴보면 위와 같이 쓸 수 있다. (F_0는 유리수여야 한다.)
f_s = 1/T_s는 Sampling rate이다.
어떤 Discrete-time Signal이 Periodic함을 증명하기 위해서는 2πF_0n = 2πm으로 잡았을 때
F_0 = m/n이 되는데, 이 수가 반드시 rational, 즉, 유리수가 되어야 한다. (m은 integer(정수)여야 한다.)
이는 또한 위에서 F_0 = f_0 / f_s 라고 정의되었기 때문에, 이 역시 유리수가 되어야함을 의미한다.
What are F_0 and Ω_0?
Discrete-time Signal에서 F_0과 Ω_0의 의미가 잘 와닿지 않을 수 있다.
그것은 보통 단위가 무엇인지 명확하지 않아서 인데, 먼저 우리가 앞에서 보았던 n이란 것은 time 자체는 아니다.
굳이 이름을 지어주자면 time index일 뿐이다.
index라는 것은 번호를 매기는 것이다. 따라서 n = 1, 2, 3 ... 이라면
그것은 1초, 2초, 3초 혹은 1ms, 2ms, 3ms와 같은 것을 의미하는 것이 아니라,
첫번째, 두번째, 세번째의 의미가 더 맞다고 볼 수 있다.
물론 n = 0, -1 ... 도 가능하므로 0번째, -1번째도 있을 수 있겠다.
또한, F_0과 Ω_0의 단위는 이 요소들의 정의를 살펴보면 알 수 있다.
시간과는 전혀 상관이 없다. 이것을 단적으로 보여주는 것이 바로 다음 그림이다.
샘플링한 Signal은 다른데, 결론적으로는 두개의 Discrete-time Signal은 같은 모양을 하고 있다.
2πn의 경우 n에는 항상 정수가 들어오므로, 결국 있으나 마나한 값이 된다.
이는 생략이 가능하고 따라서 g_2[n]은 g_1[n]과 같아진다.
결론적으로는 F_0에 어떠한 정수를 더하거나 빼도 Signal의 모양은 달라지지 않는다.
(마찬가지로 Ω_0에 어떠한 2π의 배수를 더하거나 빼도 Signal의 모양은 달라지지 않는다.)
Exponential
Discrete-time Exponential 역시 자주 등장하는 Signal이다.
e^βn을 보통 간단히 쓰기 위해 z^n으로 바꾸어 쓴다.
Exponential은 Euler's Identity에 의해서 Real Part와 Imaginary Part로 나뉘어지며
이를 각각 Discrete-time의 Signal로 나타내 보면 아래와 같다.
이 이상의 내용에 대해서는 이후에 계속 다루도록 하겠다.