[Continuous-time] Periodic Functions

정의 및 특징

Periodic Function은 일정한 간격으로 같은 모양의 Signal이 계속되는 함수를 의미한다.

식으로 나타내보면 아래와 같다.

위에서는 n은 아무 정수, 즉 -2, -3, 1, 0, ... 등등 모든 정수에 대해서 성립해야 하며,

T는 함수의 period라고 하는 것인데, 말 그대로 간격이다.

위 그림에서는 T_0가 표시되어있는데 이것을 Fundamental Period라고 부른다.

이것은 함수에서 가능한 가장 작은 Period를 말한다.

다시 말해서, T = 2T_0가 되든 T = 100T_0가 되든 어쨌든 식을 만족하기 때문에 함수의 Period로 사용할 수 있다.

하지만 Fundamental Period는 두개 이상 존재할 수 없다.

한편, f_0은 Fundamental Frequency라고 불리며 f_0 = 1/T_0 을 만족한다.

ω_0은 Fundamental Radian Frequency라고 불리며 ω_0 = 2π f_0 = 2π/T_0 을 만족한다.

Periodic Function이 아닌 함수를 Aperiodic Function이라고 한다.

내용을 다시한번 정리해 보면,

Considering Fundamental Period

어떤 두 Signal을 더한다고 생각해보자. 

두 개의 Fundamental Period가 같은 경우라면 두 개를 더한 Signal 역시 같은 Fundamental Period를 가질 것이다.

하지만 서로 다른 경우라면 어떨까. 결론적으로 다음과 같다.

LCM, 즉 least common multiple, T_01과 T_02의 최소공배수가 x(t)의 Fundamental Period가 된다.

(위 노란색 박스안의 식은 증명이 아님)

(다만 조건이 있는데, T_01/T_02를 했을 때 무리수가 나오는 경우 Aperiodic Function이 된다.)

반대로 f_01과 f_02의 GCD(greatest common divisor; 최대공약수)를 구해서 f_0, T_0을 구해도 된다.

예제

다음 몇 가지 예제에서 Fundamental Period를 구해보자.

(a) g(t) = sin(400πt)

sin은 2nπ 마다 반복되는 함수이다. 

따라서 좌변을 어떤 정수 n을 넣어 위와 같이 써도 무방하다.

우변의 경우, Periodic Function의 정의에 따라 쓴 후 양변을 정리하면 Fundamental Period를 구할 수 있다.

일반적으로 sin, cos함수의 경우 sin(2πf_0t)를 만족한다.

위의 예제에 곧바로 대입해보면 2πf_0 = 400π 이므로 f_0 = 200, T_0 = 1/200을 바로 구할 수 있다.

(b) g(t) = 3 + t^2

Aperiodic Function이다.

(c) g(t) = e^(-j60πt)

Euler's identity에 의해서 삼각함수로 변환하면 g(t) = cos(60πt)-jsin(60πt)이 되며

두 함수의 Fundamental Period는 모두 같고, (a)에서 구한 방식으로 T_0를 구하면

T_0 = 1/30이 나오게 된다.

(d) g(t) = sin(12πt)+cos(18πt)

sin(12πt)의 T_0는 1/6, cos(18πt)의 T_0는 1/9, LCM은 1/3이 된다. 따라서 T_0 = 1/3.

반대로 f_0은 각각 6, 9, GCD는 3, 따라서 f_0 = 3, 마찬가지로 T_0 = 1/3.

(e) g(t) = sin(12πt)+cos(18t)

cos(18t)의 경우 T_0가 π/9가 된다.

sin(12πt)의 T_0에서 cos(18t)의 T_0를 나누면 무리수가 나온다.

따라서 Aperiodic Function이 된다.