[Continuous-time] Even and Odd Functions

정의 및 특징

Even Function과 Odd Function은 말 그대로 우함수와 기함수다.

먼저 위 그래프를 보면 Even Function은 g(t)축 대칭, Odd Function은 원점 대칭인것을 볼 수 있다.

이를 간단히 공식으로 나타내 보면, 아래와 같다.

Even Function은 Time Scaling, Odd Function은 Time Scaling과 Amplitude Scaling을 같이하고 있다.

어떤 함수가 Even Function 혹은 Odd Function을 이루는 Part를 구하는 방법은 아래와 같다.

만약 어떤 함수가 Even Function이라면 g_odd(t) = 0 이 될 것이며, g_even(t) = g(t)를 만족하게 된다.

반대로 어떤 함수가 Odd Function이라면 g_even(t) = 0 이 될 것이며, g_odd(t) = g(t)를 만족하게 된다.

사칙연산

덧뺄셈

덧뺄셈의 경우, 끼리끼리 더하거나 빼는 경우에는 원래의 Odd, Even Function을 그대로 따라가게 된다.

굳이 증명을 해보자면 아래와 같이 할 수 있다.

하지만, 그 이외의 경우에는 Odd인지 Even인지 알 수 없다.

곱셈, 나눗셈

끼리끼리 곱셈하는 경우에는 항상 Even Function이 나오게 된다. (나눗셈도 증명이 거의 비슷하므로 생략한다.)

한편 서로 다른 것 끼리 곱하거나 나누는 경우에 대해서는 어떤지 식을 통해 살펴보도록 하자.

위에서 나눗셈의 증명을 생략한 이유를 대략 알 수 있을 것이다.

서로 다른 것 끼리 곱하거나 나누는 경우에는 Odd Function이 나오게 된다.

곱셈의 경우에는 위의 그림을 첨부해 두었으니 참고하기 바란다.

미적분 (Derivative & Integral)

미분

Odd Function과 Even Function을 각각 미분하면 결과는 어떻게 될까. 결론을 얻는것은 매우 간단하다.

아까 정의했던 두 Function의 양변을 미분해보자.

Even Function의 경우에는 g'(t) = -g'(-t) 가 될 것이다. 이는 곧 Odd Function이다.

Odd Function의 경우에는 볼 것도 없이 미분하면 Even Function이 될 것이다.

적분

미분과 적분의 관계를 아는 사람이라면 결론 역시 이미 알고 있을 것이다. (= Odd ↔ Even)

다만 부정적분의 경우 적분상수가 붙게 될 텐데, 

적분하면 Even Function이 되는 Odd Function의 경우에 있어서는

상수 역시 Even Function의 일부가 될 수 있다는 점을 고려하기만 하면 될 것 같다.

정적분의 경우에 대해서 한가지 고려해야 할 것이 있는데, 다음 식을 생각해 보자.

위끝과 아래끝이 위와 같이 설정되는 경우 (a = real constant) 식을 다음과 같이 바꿀 수 있다.

반대로, Odd Function의 경우 0이 된다.