Ideal Transformer

개요

Ideal Transformer는 다음과 같은 특징을 가진다.

1. 두 개의 코일이 쌍을 이루고 있으며 각각 N_1, N_2만큼 감겨있다.

2. Coefficient of Coupling은 1이다. (k=1)

3. 각 코일의 Self-inductance는 infinite(= ∞)하다. 

4. 코일에서의 손실은 무시한다.

우리가 지난 포스트에서 알아 보았던 Z_ab를 다시 가져와 Ideal Transformer를 분석해보도록 하자.

분석

최종적인 목표는 Z_ab를 N_1과 N_2에 관한 식으로 만드는 것이다.

그러기 위해서, Z_ab를 Real Part와 Reactance로 나누어 보면 (이를 rectangular form으로 만든다고 말한다.)

위와 같이 식을 세워볼 수 있다.

우리는 먼저 X_ab를 N_1과 N_2에 관한 식으로 만들어보도록 하자.

마지막 식에서는 L_1과 L_2가 각각 Turns(코일을 감은 수)의 제곱에 비례하기 때문이다.

다음으로는 R_ab를 같은 방법으로 하면,

이제 구한 R_ab와 X_ab를 토대로 Z_ab를 구해보면,

이제 Ideal Transformer에서 Z_ab를 N_1과 N_2에 관한 식으로 구할 수 있게 되었다.

특성

N_1, N_2와 V_1, V_2, I_1, I_2의 관계식을 알아보도록 하자.

Voltage vs N-turns

먼저 N_1, N_2와 V_1, V_2의 관계식을 알아보기 위해, 위의 (a)회로를 참고하도록 한다.

Load단이 open circuit인것에 주의하라.

회로의 첫번째 그림의 Load단이 open circuit 이므로 Mutual Inductance는 포함되지 않는다.

한편 V_2는 Mutual Inductance의 영향을 받는다. 역시 open circuit이므로 Inductor L_2의 영향은 없다.

따라서 최종적으로 얻을 수 있는 결과는, 양단의 전압을 turns로 나눈 값이 서로 같다는 점이다.

Current vs N-turns

(b)회로의 오른쪽 Short Circuit을 토대로 식을 세운 후, 관계식을 찾아보도록 한다.

Turns와 Current의 곱이 서로 같음을 볼 수 있다.

Determining the Polarity

우리는 위의 예제에서 Dot Convention을 고려하지 않았다.
하지만 예전에 Dot Convention을 다뤘을 때 언급했듯,
서로 같이 Dot으로 들어가거나 혹은 같이 나오는 경우는 Positive한 영향을,
서로 반대인 경우에는 Negative한 영향을 받는다고 했었다.
여기서도 결론은 그다지 크게 다르지 않다.

위를 보면 서로 같이 Dot으로 들어가거나 혹은 같이 나오는 경우는 관계식에 변화가 없고
서로 반대인 경우에는 음수가 붙게된다.

Ratio

그림은 Ratio of Turns를 나타내는 다양한 방법을 보여주고 있다.
Ratio는 보통 a = N_2 / N_1으로 나타내며 위의 예제에서는 a = 5 가 되겠다.

Impedance Matching

이전 포스트에서 설명한대로 Transformer는 Impedance Matching를 사용한다.

이는 Load단의 impedance level을 높이거나 낮출 수 있다.

먼저 그림에서 Z_IN, 즉 Source V_S와 Z_s에서 바라본 Impedance를 구해보면,

Z_L과의 관계식을 얻을 수 있는데, 

이는 곧 Source단에서 바라본 Impedance가 Load Impedance에 a^2 만큼 반비례한다는 것을 보여준다.

이는 곧 Ideal Transformer는 회로 전체의 Impedance에 영향을 미치지만, 

Phase Angle에는 영향을 미치지 않는 것 또한 의미한다. (Z_L에 단지 '상수단위의' 반비례만 존재할 뿐이다.)

Ideal Transformer와 Impedance Matching은 이후 Maximum Power Transfer에서 다시 다루도록 하겠다.