[Continuous-time] Differentiation and Integration

Differentiation

Differentiation과 Integration은 Real System에서 보편적으로 쓰이는 Processing Operation이다.

(Electric Circuits에서 Integrating-Amplifier를 떠올려보라)

Differentiation은 Integration에 비해서는 비교적 수학적으로 쉽다고 할 수 있다.

이미 고등학교 과정에서 지겹게 했을 것이므로, 자세한 설명 대신 그래프로 대체하도록 하겠다.

Integration

Integration은 약간 복잡하다. 몇 가지 개념이 존재하는데,

Indefinite integral, 즉 부정적분은 뒤에 적분상수가 나타나는 적분으로 

위끝(upper limit)과 아래끝(lower limit)이 없다.

Antiderivative는 이 부정적분(indefinite integral)의 원시함수이다.

한편 definite integral은 위끝과 아래끝이 (two limits) 있으며 특정한 값, 혹은 식을 갖는다.

Running Integral (Cumulative Integral)

Signal and System의 분석에서 Running Integral은 상당히 자주 쓰이는데,

계산과정에서 t는 마치 상수처럼 계산된다. 하지만 계산을 마치고 나면, 식은 t에 관한 식으로 정리된다.

이 함수는 보통 Signal의 x축과의 넓이를 나타내는 함수로 사용되곤 한다.
위 그래프가 그것을 잘 보여주고 있다. 

그래프에서는 첫번째와 네번째 예제에서 함수가 특정지어지지 않는 것을 볼 수 있는데,

antiderivative가 공통적으로 t<0에서도 계속 어떤 값을 가지고 있기 때문이다.

반면, 2번째와 3번째 그래프에서는 t<0에서의 antiderivative는 0값을 가지고 있다.

따라서 우리는 적분상수를 규정지을 수 있고, 결론적으로 적분함수 역시 하나로 특정지을 수 있는 것이다.

Integration은 이후에 Signal Energy나 Signal Power에서 더 다뤄보도록 하겠다.