[Continuous-time] Scaling and Shifting

Amplitude Scaling

Signal의 세기에 영향을 미치는 것을 Amplitude Scaling이라고 한다.

위 그림에서 그래프 오른쪽에 표시되는 숫자들은 시간에 따른 함수값을 의미한다.

(a)에서는 Amplitude Scaling을 적용함에 따라서 함수값이 절반으로 줄어들어 있음을 볼 수 있다.

(b)에서는 Signal이 반전된 모습을 볼 수 있다.

다만, Amplitude Scaling은 시간 t에 대해서는 independent하다.

Time Shifting

위 그림은 함수 내부에 t 대신 t-1을 넣었을 경우를 보여주고 있다.

이렇게 시간 변수 t에 어떤 값을 빼거나 더해주는 것을 Time shifting, Time translation이라고 부른다.

Time shifting은 함수 자체를 변화시키지는 않는다.

Time Scaling

Time Shifting과는 조금 다른 것으로, 이번에는 시간 변수 t에 다른 숫자를 곱하거나 나눈다.

이렇게 하면 그래프가 늘씬한(?)모양으로 바뀌거나 혹은 옆으로 퍼지거나, 그렇지 않으면,

위와 같이 좌우대칭이 된 상태가 될 수도 있다.

좌우대칭이 된 상태를 Time Inverted라고 하기도 한다.

Signal의 Time Scaling은 Doppler Effect(도플러 효과)나 Red Shift(적색이동)등에서 예를 찾아볼 수 있다.

Simultaneous Scaling and Shifting

앞에서 언급된 것들이 모두 동시에 진행될 수도 있다. 

그럴 경우 우리는 앞에서 다뤘던 세가지 요소로 각각을 떼어놓고 생각하는 편이 좋다.

위의 식은 그것을 잘 보여주고 있다.

원래 함수 g(t)에서 순차적으로 Amplitude Scaling, Time Scaling, Time Shifting 이 이루어지고 있다.

만약 위 도표에서 Time Scaling, Time Shifting의 순서가 아닌 

Time Shifting, Time Scaling 순서로 변화가 이루어진다면, 결과는 위와 다르게 나타날 것이다. → Ag(t/a - t0)

따라서 순서를 제대로 해둘 필요가 있다.