Natural Response of a Parallel RLC Circuit

지금까지는 Inductor와 Capacitor가 같은 회로에 있는 경우에 대해서는 다루지 않았다.
이번 포스트에서는 회로에 Resistor와 함께 세가지 Device가 들어있는 회로를 분석하는 방법에 대해 알아보고자 한다.
먼저 Source가 없는 Natural Response의 경우부터 다뤄보도록 하자.
회로에 대한 Node-voltage Method 식을 써보자.

그러나 이것으로는 문제를 해결할 수 없기 때문에 우리는 v의 해가 Exponential 한 값을 가진다고 가정할 것이다.
Exponential form은 다음과 같이 표현해 볼 수 있다.
이것을 우리가 구한 식에 대입하여 characteristic equation을 도출해 낼 것이다.

해가 두가지 나오게 되는데, v의 해 역시 두 가지로 나올 수 있다. 우리는 그 해를 다음과 같이 적어 볼 수 있는데,

각각의 식을 합하더라도 v의 해가 될 수 있다.
이해가 잘 가지 않는다면 아래 식에서 A1이나 A2 둘 중 하나에 0을 넣으면 위 식이 그대로 나온다는 것을 생각해 보라.

s1과 s2를 좀 더 간단화 하기 위해
α라는 Neper Frequency와 ω0라는 Resonant Radian Frequency를 사용하도록 한다.
자세한 내용은 다음과 같다.

이렇게 해서 나오게 되는 해는 3가지 경우로 나뉜다.

각각의 경우에 대해서 해를 구하는 방법이 각각 다르다.

1. Overdamped Voltage Response

먼저 기본적인 form은 위에서 구한 것과 같이

와 같으며 s1과 s2는 위에서 Neper Frequency와 Resonant Radian Frequency를 구함으로써 구할 수 있지만
A1과 A2는 곧바로 구할 수 없다. A1과 A2를 구하려면 두 개의 식이 필요한데,
보통 다음과 같이 두개의 식을 써서 연립한 다음 이끌어 낼 수 있다.

2. Underdamped Voltage Response

식을 좀 더 간단히 하기 위해서, 다음과 같이 s1과 s2를 다시 써보면,

이를 토대로 v(t)를 다시 바꿔써 보면,

ωd의 경우 Voltage가 요동치는 간격을 나타내는 factor가 되며
이를 Damped Radian Frequency라고 부른다.

마찬가지로 B1과 B2 역시 다음과 같이 두개의 식을 구해 연립하여 구할 수 있다.

3. Critically Damped Voltage Response

A1+A2는 그냥 단순한 상수값에 불과하다. 즉, 해가 1개 밖에 나올 수 없게 되는 것이다.
처음에 주어지는 조건은 2개인데, 해가 1개가 될 수는 없다.
따라서 우리는 식을 약간 바꿔 놓을 것이다.

이러한 식이 나오는 이유에 대해서는 아래 동영상에 설명되어 있으니(Repeated roots of the characteristic equation)
참고하기 바란다. (시간이 없다면 4분부터 보기 바란다. 이유는 초반에 설명하고 있다.)

역시 D1과 D2는 v(0+)와 그 derivative를 통해서 연립으로 구하면 된다.

구하는 식은 대체로 외워 두는것이 값을 구하는데 편하다.