Step Response of RL and RC Circuits

Step Response of RL Circuit

Natural Response에서는 Inductor가 충분히 Energy를 가진 상태에서 회로 분석을 시작하게 된다.
보통 그 시간은 t < 0, 즉 RL회로의 스위치가 Voltage Source와의 연결을 끊은 이후가 되는데,
이번 포스트에서는 그 이전 상황에서는 과연 Inductor를 지나는 Voltage와 Current는 어떻게 변화하는지를 볼 것이다.
다시 말해서, 어떤 Energy Source와 연결된 RL회로,
즉 Step Response상황에서의 Inductor 동작을 알아보고자 한다.

위 그림은 t = 0이 되는 순간 Voltage Source와 연결된다.
Inductor를 그냥 전선뭉치 정도라고 생각한다면,
연결하자 마자 Inductor를 지나는 전류량은 i와 같을거라 생각하기 쉽지만 실제로는 그렇지 않다.

차근차근 설명하면 이렇다.
코일의 양단에 갑자기 전압을 걸어주면 그 전압차는 곧 코일에 있던 전하를 한 방향으로 흐르게 한다.
그것이 곧 전류가 되는데, 전류가 발생하면 동시에 코일이 도는 방향에 수직이 되는 자기력선이 발생하게 된다.
이러한 자기장은 전류가 잘 흐르지 못하는 방향으로 자기장의 변화가 발생하게 되기 때문에
전류는 곧바로 i값에 도달하지 못하고 약간 지연을 일으킨다.
(Inductor는 회로의 전류 변화를 최대한 안정시키려고 노력한다고 생각하라)
하지만 이내 전류는 i에 도달하게 된다.
이후 더 이상의 전류의 변화가 없기 때문에 전압차도 사라진다.

Mesh-current Method를 통해 이것을 식을 통해 다시한번 확인해 보도록 하자.

t = 0 일 경우를 생각해 보면, i(0) = I_0, 즉 최초 전류값을 가지게 된다.
위 회로에서는 Inductor에 이미 일정 에너지가 있지 않은 이상 i(0) = I_0 = 0 이 된다.
t = ∞ 일 경우에는 Exponential 부분이 0으로 수렴하면서 Vs / R값, 즉 Inductor가 Current에 영향을 미치지 못한다.
다시 말해서 위 회로에서는 i만큼의 전류가 흐른다.
만약 t = τ 라면 이번엔 1 - 0.37 = 0.63, 즉 i의 63% 만큼의 Current가 Inductor에 흐르고 있다고 생각할 수 있다.

한편, Voltage는 v = L (di/dt)를 이용해 구하면 된다.

Step Response of RC Circuit

이번엔 RC Circuit을 살펴보자.
Capacitor는 이전에 설명한 대로 두개의 판이 서로 다른 Polarity를 가진 전하로 대전되면서 Energy를 응축하는 소자이다.
Capacitor는 처음엔 Short된 것 같이 행동한다.
즉, 어떤 Current를 흘려보내주면 처음에는 Current를 그대로 흘려보낸다.
(이전에도 말했듯 실제로 전하가 흐르는 것이 아니라 반대편에 있던 전하가 판으로 빠져나가거나 첨가되는 것이다) 
양단에 대전되는 전하들이 늘어나면서 양단엔 전압차가 발생하고,
어느정도 전하가 쌓이면 그 쌓이는 속도가 점점 줄면서
결국에는 Current가 흐르지 않는다. 말 그대로 Open상태가 되는 것이다.

이번에는 상단의 Node에서 Node-voltage Method를 사용하여
Voltage에 관한 식을 구함으로써 위 이론을 확인해 보도록 하겠다.

기본 식이 모두 Capacitor의 parameter들로 바뀔 수 있다.
쉽게 말하면 전에도 설명 햇듯 모든 것이 Inductor와 정반대다.

Capacitor의 Current 역시 i = C (dv/dt) 공식을 통해 (역시 모양이 Inductor의 v-i 공식과 같다.)
같은 꼴을 같는 식을 가지게 되며, 아래와 같이 구할 수 있다.