Time Constant of RL and RC Circuit

RL회로에서 i(t)는 다음과 같이 정의된다.

i(t) = I0e^(-(R/L)t)

여기서 R/L이라는 상수는 Current가 0으로 접근하는 비율이 된다.
RL회로에서는 이 상수의 역수를 time constant라고 한다. 즉,

τ = time constant of RL Circuit = L/R

이 time constant는 RL Circuit이나 RC Circuit에서 중요한 역할을 한다.
먼저 RL회로에서는 Inductor에 있던 회로가 Resistor로 에너지를 주게 되는데,
1τ라는 시간이 지났을 때, L의 Current가 최초 Current값에 대해 e^-1, 대략 0.37배로 줄어들게 된다.
우리는 대략적인 이 0.37이라는 값을 알고 있음으로써,
1τ라는 시간이 지났을때의 Current값을 exponential값을 직접 계산하지 않고도 바로 알 수 있다.

또한 5τ라는 시간이 지났을때 Current값이 최초값의 1% 미만으로 내려가게 되는데,
대부분의 경우에서 5τ라는 시간이 Current값이 0이 되는 시간이라고 생각해도 무방하다.
또한 반대로 우리가 어떤 회로의 time constant를 모른다 하더라도
회로의 Current를 측정함으로써 time constant를 유추하고, 회로를 결정할 수 있게 되는 것이다.

우리가 RL회로를 분석하며 사용했던 식들을 time constant를 포함하여 다시 쓴 것은 아래와 같다.

한편 RC회로의 경우

τ = time constant of RC Circuit = RC

time constant는 위와 같으며, Voltage, Current, Power, Energy 공식은 아래와 같다.

실제 문제에 적용

문제) t = 0이 되기 이전에 충분히 긴 시간을 스위치를 닫은 상태로 있다가 t = 0일때 스위치를 열었다.
a) i의 initial value는?
b) 8mH inductor의 최초 Energy값은?
c) t > 0에서의 time constant는?
d) t ≥ 0에서 i(t)의 식을 쓰면?
e) 5ms 가 지난 후 2Ω의 저항에서 방출된 Energy는 8mH inductor의 최초 Energy의 몇%에 해당하는가?

먼저 회로를 분석해보자.

a)
t < 0 일때, 2Ω의 저항에는 전류가 흐르지 못한다.
Inductor에는 별다른 저항이 없기 때문에 모든 전류가 Inductor를 통하기 때문이다.
(Capacitor였다면 Capacitor로는 전류가 전혀 흐르지 못할 것이다.)
따라서 Req = 3Ω + 30Ω || 6Ω = 8Ω 이 된다.
이 때, 120/8Ω=15A의 전류가 30Ω과 6Ω으로 나눠진다고 생각할 수 있으므로
그러면 t < 0일때 i는 -120*30Ω/(30+6Ω) = -12.5A가 된다. 

b)
최초에 8mH의 인덕터에 저장되는 Energy를 구해보면, w = (1/2)Li^2 이므로, w = 625mJ이 된다.

c)
τ = L/R = 8m / 2 = 4ms

d)
알고 있는 i(t) 공식에 위에 구한 내용들을 적용시킨다.
i(t) = I0e^(-t/τ)
i(t) = -12.5e^(-t/4m)
i(t) = -12.5e^(-250t)

e)
w = (1/2)L(I0^2)e^(-2*250t)
w = (1/2)8m(-12.5)^2e^(-500*5m)
w = 625m * e^(-2.5) = 51.3031mJ

inductor에 51.3031mJ의 Energy가 남아있다.
다시말해서 처음에 가지고 있던 625mJ - 51.3031mJ만큼의 Energy가 저항에 전달되었다는 뜻이다.
따라서 5ms 가 지난 후 2Ω의 저항에서 방출된 Energy는
8mH inductor의 최초 Energy의 (625 - 51.3031) / 625에 해당하며, 계산해보면 이는 약 91.8%이다.