Natural Response of RL and RC Circuit

RL와 RC Circuit은 위와 같은 모습을 하고 있다.
Leq, Req, Ceq의 Notation을 보면 알 수 있듯,
Equivalent Model, 즉 복잡한 회로를 간단히 줄여놓은 형태의 회로라고 생각하면 된다.
이번 포스팅에서는 이렇게 단순화된 RL과 RC Circuit을 분석해 볼 것이다.
이 분석을 통해 좀 더 복잡한 RL과 RC Circuit을 분석할 수 있는 방법을 알 수 있다.

제목에 쓰여있는 Natural Response란 다른 Voltage나 Current Source가 관여하지 않는 것이라고 생각하면 된다.
(관여하는 회로의 경우 Step Response라고 하며 이후의 포스트에서 다룰 예정이다.)

다시 말해서, 이 포스팅에서는 다른 Source가 없는 상태에서
어떤 에너지를 갖고 있는 상태의 Inductor나 Capacitor가 저항과 어떻게 동작하게 되는지를 분석하게 될 것이다.

Natural Response of RL Circuit

위의 그림에서 t=0- 일때는 Current Source와 연결되어있다.
충분히 긴 시간을 연결해주는 경우 L에는 Energy가 쌓이고, 더 이상 변하지 않을 것이다.
t=0이 될때 스위치 부분을 열면 Energy를 가지고 있는 L과 R만이 독립된 회로가 되며, 
바로 아래있는 그림과 같은 상태가 된다.

회로를 차근차근 분석해보자. Mesh-current Method를 이용하면 다음과 같은 식을 쓸 수 있다.

L (di/dt) + Ri = 0

이 식을 i에 관한 식으로 정리해보자.

보통 t0를 0으로 설정하므로 우리는 t0 대신 0를 사용할 수 있다.
또한 Inductor의 Current는 갑자기 변할 수 없다. 다시 말해서 0이전과 0이후가 연속된 상태이므로, 우리는
i(0)의 값을 어떤 특정한 상수로 적을 수 있다. 따라서 우리는 최종적으로 다음과 같은 공식을 도출해 낼 수 있다.

Current 뿐 아니라 나머지 Voltage, Power, Energy에 대해서도 위와 같이 구할 수 있다.
(맨 위 그림에 표시된 Is는 곧 I0과 같다.)

Natural Response of RC Circuit

역시 마찬가지로 스위치가 전환되기 전 충분한 시간을 거치면 C는 양끝의 전위차를 Vg만큼 가지게 된다.
t=0이 되어, 스위치가 RC회로쪽으로 움직이면 마찬가지로 아래 그림과 같은 RC회로가 된다.
같은 방법으로 Mesh-current를 이용하여 최초의 식을 세워볼 수 있다.

C (dv/dt) + v/R = 0

RL회로에서와 같이 마찬가지로 정리를 해볼 수 있는데,
RL회로에서 사용한 공식에서 i는 v로 바뀌고 R이 1/R로 바뀌었을 뿐이다.
따라서 RL회로에서 i(t)를 그대로 재활용하여 v(t)를 써볼 수 있다.
마찬가지로 v(t)로 부터 Current, Power, Energy에 관한 공식도 같이 도출해 보도록 하겠다.

모든 RL과 RC Circuit은 맨 위의 그림처럼 간단화를 거친후,
우리가 구해놓은 공식을 이용하여 적절히 푸는것으로 분석이 가능하다.
다음 포스트에서는 Time Constant와 함께 실제 문제에서 어떻게 이용되는 지에 대해 알아보도록 하겠다.