Mutual Inductance and Dot Convention

Inductor의 내부에만 자기력선이 지나는 것이 아니라 외부에도 자기력선이 지난다.
만약 두 개 이상의 Inductor가 서로 가까운 위치에 있다면, 외부자기력선은 서로 다른 Inductor를 지나게 될 것이다.
다시 말해서 두개의 Inductor는 서로 영향을 끼치는 위치에 있게 되는데,
이 때 Mutual Inductance가 발생한다. 위 회로도에 M이라고 표시되는 것이 바로 그것이다.
Mutual Inductance는 기존에 Inductor가 가지고 있던 Inductance에 Positive하거나 Negative한 영향을 줄 것이다.
그것이 위에서 표시되어 있는 M(di_2/dt)과 M(di_1/dt)이다.
그렇다면 과연 Mutual Inductance가 Positive한 것인지 Negative한 것인지 어떻게 판단할 수 있을까?

Setting Dot Convention

회로의 표현만 가지고는 Inductor가 어떤방향으로 꼬여있는지 알 수 없게 되어있다.
다시 말해서 어떤 notation이 주어지지 않는 한 서로에게 어떤 영향을 주는지 알 수 없다.
그래서 고안해 낸 것이 바로 점(●; Dot)이다.

회로를 그릴때 점의 위치를 직접 설정하기 위해서는 꼬여있는 방향을 알아야 한다.
만약 점이 이미 회로에 설정되어있다면,
바꾸어 생각해 보았을 때 우리는 점을 토대로 Inductor가 꼬여있는 방향을 알 수 있다는 의미가 된다.
점을 설정하는 방법은 다음과 같다.

1. 기준이 되는 Inductor A에서 전류가 들어오는 방향에 점을 찍는다.
2. Right Hand Rule에 의해서 코일 내부의 자기력선의 방향을 알 수 있다.
3. 상대편 Inductor B에는 Inductor A의 내부 자기력선과 반대되는 방향의 자기력선이 영향을 미칠 것이다.
4. Inductor B에서 둘 중 아무 곳에서 전류를 흘려 보낸다
5. Inductor B에서도 마찬가지로 Right Hand Rule에 의해 코일 내부 자기력선의 방향을 알 수 있다.
6. 이 자기력선의 방향이 Inductor A가 만들어낸 자기력선의 방향과 같은가?
7. 만약 같다면 전류를 흘려보낸쪽에 나머지 점을 찍는다.
8. 그렇지 않다면 전류가 빠져나가는 쪽에 나머지 점을 찍는다.

위의 노란색 박스에서 의미하는 것은 무엇인가?
다시 말하자면, 서로 영향을 끼치는 자기력선의 방향이 Inductor 자신의 내부자기력선의 방향과 같다면
서로에게 Positive한 영향을 끼치는 것이고, 그렇지 않다면 서로에게 Negative한 영향을 끼치는 것이다.
다시말하면 둘 중 하나만 Positive한 영향을 받거나, Negative한 영향을 받는 경우는 없다.

이제는 반대로 Dot Convention을 읽어볼 시간이다.

How to Read Dot Convention?

모든 방법은 Dot에 전류가 흘러들어가는지 빠져나오는지를 판단하는데서 부터 시작한다.
맨위의 그림을 다시 가져와 보자.

먼저 Dot은 반드시 Inductor의 둘 중 한 군데에 있다.
마찬가지로 Inductor를 지나가는 Current에도 두가지 경우가 발생한다.

1. Current가 Inductor보다 Dot을 먼저 만난다.
2. Current가 Inductor를 Dot보다 먼저 만난다.

위 그림에서 i1은 Dot을 먼저 만나며, i2는 Inductor를 먼저 만난다.
둘은 서로 반대의 경우다. 결론부터 말하면 둘은 서로에게 Negative한 영향을 끼친다.
만약 둘이 같은 경우라면 둘은 서로에게 Positive한 영향을 끼친다.

그림을 보면 Inductor의 전압이 표시되어있는 것을 볼 수 있는데,
M으로 표시된 Mutual Inductance역시 같은 방식으로 표현할 수 있다.
다만 서로 다른 전류로 인한 Inductance이기 때문에,
i1의 mesh쪽에 i2와 관련된 Mutual Inductance가 들어있음을 볼 수 있다.
이 Mutual Inductance의 Polarity를 결정하는 것이 매우 헷갈리곤 하는데, 간단한 방법이 있다.

서로 Positive한 영향을 끼친다면 Dot에 +를, 나머지에 -를 붙여주면 된다.
그 반대의 경우에는, 반대로 Dot에 -를 나머지에 +를 붙여주면 된다.

Using Coefficient of Coupling

Mutual Inductance는 Coefficient of Coupling을 사용해 나타낼 수 있으며, 식은 위와 같다.

k는 0~1 사이의 값을 가진다.