[Pairs of RV] Conditioning by an Event

[Pairs of RV] Conditioning by an Event

Electronics/Stochastic Processes2012. 2. 26. 00:02

Conditional Joint PMF

Discrete random variable X, Y에 대해서
어떤 event B (P[B] > 0)에 대한 X와 Y의 conditional joint PMF는 다음과 같이 정의된다.

$P_{X,Y/B}(x,y) = P[X=x, Y=y/B]$

이로 부터 다음이 성립한다.

$P_{X,Y/B}(x,y) = \begin {cases} \frac{P_{X,Y}(x,y)}{P[B]}&(x,y)\in B \\ 0 & otherwise \end{cases}$

이전의 discrete RV에서의 conditioning과 크게 다를 것이 없는것이다.
다음의 예제를 살펴보자.

왼쪽과 같은 joint PMF가 있을 때, 'X + Y ≤ 4' 라는 event에 대해서 conditional joint PMF를 구해야 한다면,
먼저 해당 event에 속하는 outcome들의 확률을 파악한 다음, 원래의 joint PMF에서 그만큼 나눠주면 된다.
즉, 여기서 해당되는 점들은 1/4, 1/8, 1/8, 1/12의 값을 갖는 지점이 되겠고, 이들의 합은 7/12이다.
conditional joint PMF에서는 이러한 점들 이외의 점들은 모두 무시해야 하고, (즉, (x, y) ∈ B)
원래의 함수값들을 7/12로 나눠주면 된다.

Conditional PDF

Continuous random variable X, Y에 대해서
어떤 event B (P[B] > 0)에 대한 X와 Y의 conditional joint PMF는 다음과 같이 정의된다.

$f_{X,Y/B}(x,y) = \begin {cases} \frac{f_{X,Y}(x,y)}{P[B]}&(x,y)\in B \\ 0 & otherwise \end{cases}$

PMF에서의 경우와 동일하다. 다만 실제 적용에서 P[B]를 구하는 방법의 차이가 있을 뿐이다.
다음과 같은 joint PDF가 있다고 할때, event B = {X + Y ≥ 4}에 대한 conditional joint PDF를 구해보자.

$f_{X,Y/B}(x,y) = \begin {cases} \frac{f_{X,Y}(x,y)}{P[B]}&(x,y)\in B \\ 0 & otherwise \end{cases}$

먼저 P[B]를 적분을 통해서 구해야 한다.
적분구간이 애매하게 느껴지면 직접 그래프를 그리는 방법을 사용하면 된다.

B는 위에서 짙게 칠해진 부분이다. 이를 통해서 범위를 파악하여 적분해 보면,

$\begin {array}{rll}P[B] &=&\int_0^3 \int_{4-y}^5 1/15 ~dx~dy \\ &=& 1/15 \int_0^3 (1+y)~dy\\&=&1/2\end{array}$

위와 같이 구할 수 있고, conditional joint PDF의 정의에 의해,

$f_{X,Y/B}(x,y) = \begin {cases}2/15 & 0\leq x \leq 5,~0\leq y \leq 3,~x+y\ge 4\\0 & otherwise \end{cases}$

를 얻을 수 있다.

Conditional Expected Value

Random variable X, Y와 event B (nonzero probability)가 있을 때,
B에 대한 W = g(X, Y)의 conditional expected value는 다음과 같이 구할 수 있다.

$\begin{array}{ll} Discrete:& E[W/B] = \sum_{x \in S_X} \sum_{y \in S_Y} g(x,y) P_{X,Y/B}(x,y)\\ Continuous:& E[W/B] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x,y) f_{X,Y/B}(x,y)~dx~dy \end{array}$