Node-voltage Method

Node-voltage Method는 이전에 다뤘던 Kirchhoff's Current Law를 기반으로 한다.
즉, 하나의 노드에 드나드는 전류의 총 합은 0이라는 이 법칙을 발전시킨 것이다.

V1 노드에 집중해보자. V1 노드에는 4개의 연결선이 그려져 있다.
각각 50V의 Voltage Source가 연결되어있는 path, 8Ω 저항, 2Ω저항,
그리고 Dependant Current Source가 연결되어있는 path.

먼저 V1쪽에서 8Ω저항으로 빠지는 전류를 ia 라고 했을때 ia = V1 / 8Ω 이라고 생각할 수 있다.
마찬가지로 모든 path에 대해서 위와 같이 식으로 나타낼 수 있고, 그것들을 모두 더한 값은 0이 되는 것이다.
우리는 V1과 V2에 대해서 각각 아래와 같은 식을 쓸 수 있다.

식에 대해 보충 설명을 하자면 다음과 같다.
먼저, 항상 전류가 빠져나가는 것으로 기준을 잡고 식을 세우면 편하다.
Voltage Source의 방향은 빠져나가는 것과 반대이므로 V1에서 50V가 빠져나가는 것이다.
또한 2Ω 저항을 지나는 전류의 경우 기준점이 접지 부분이 아닌 V1과 V2이기 때문에
V1과 V2에 대해서 식을 세워야 한다.
한편 i1의 값은 - (V1 - 50)/6 라는 것을 바로 알 수 있다.
따라서 위아래 식에 해당 값을 치환한 다음 두 식을 연립하면 V1과 V2 값을 구할 수 있다.

여기서 생길 수 있는 궁금점 중 하나는 과연 어떤 녀석들을 V1과 V2로 선택할 것인가 하는 것이다.
보통은 문제를 많이 풀다 보면 한눈에 보이는 편인데 보통 주변에 저항이나 source가 많은,
즉 path가 두 개 이상인 essential node 라고 하는 것들을 선택할 수 있다.
만약 밑의 두 점 만을 선택했을 때, 이 두 점만 가지고서는 문제를 해결할 수 없고
결국 위의 두 점 (혹은 한 점)을 추가로 선택할 수 밖에 없는데,
이는 곧 밑의 두 점이 essential node가 아니라는 것을 반증하는 것이다.

이어서 알아볼 것은 Supernode의 개념이다.

Supernode

Supernode라는 것은 간단히 말해서 그림 상에서 두개로 나뉘어진 node를
이론상으로 하나의 node처럼 생각할 수 있다는 것이다. 맨 아래 그림을 보면 대략 어떤 느낌인지 이해가 갈 것이다.
그러나 사실은 하나의 node가 아니라 실제로는 약간 다르다.
결론부터 말하자면 어떤 두 node 사이에 아주 간단한 관계가 성립되어 문제의 풀이를 간단하게 만든다는 것이다.

우리는 위에서 배운것과 같이 1, 2, 3번 노드에서 Node-voltage Method를 이용해서 3개의 식을 만들어 낼 수 있다.
그러나 알다시피 3개의 식, 3개의 미지수를 연립하여 푼다는 것은 매우 짜증나는 일이 아닐 수 없다.
물론 계산기를 이용하면 간단하지만, 계산기의 답이 약간 더러운 숫자들로 이루어져 있다면
우리는 이게 우리가 원하는 답인지 아닌지 조차 짐작하기 어려운 것이다.

하지만 위의 그림이 보여주듯 2번과 3번노드는 Dependant Source로만 연결되어있다.
다시 말하면 2번과 3번 노드 사이에서는 다음과 같은 공식이 성립된다는 것이다.

v2 + 10iΦ = v3

v3로 이루어진 식을 모두 v2 + 10iΦ 으로 바꿔서 풀면 모든 식이 2개의 미지수만 가지게 될 것이다.
우리는 처음부터 식을 3개를 만들어서 풀었지만,
아예 처음부터 하나의 노드로 보고 2번과 3번 노드에 대한 2개의 식을 하나의 식으로 만들어 풀 수도 있다.
2개의 미지수, 2개의 식, 즉 간단한 연립방정식으로 식을 심플하게 만들어 버릴 수 있다.