[Mixed RV] Definition & Example

예제

누군가가 어딘가에 전화를 걸어 그 통화시간을 체크했다고 하자.
1/3의 확률로 잘못된 번호를 누르거나 상대방이 통화중이다. 이 때는 통화시간을 0분으로 친다.
그렇지 않으면 2/3 확률로 통화시간이 0~3분 사이에 일정하게 분포해 있다고 하자.
Y를 통화시간이라고 했을때, 이 random variable Y에 대해서 CDF, PDF, expected value를 구하라.

Event A를 전화 연결이 성공한 것이라고 했을 때,
Y의 범위는 0~3 사이가 되므로, law of total probability를 이용해 다음과 같이 CDF를 쓸 수 있다.

 
만약 event A^c, 그러니까 전화를 받지 않는 event가 발생했다면, Y = 0 이 되므로,
0 ≤ y ≤ 3 에 대해, P[Y ≤ y|A^c] = 1이다.
Event A가 발생하면, 통화시간은 0~3분 사이에 균일하게 분포하므로, P[Y ≤ y|A] = y/3 이다.
따라서, 정리하면

이며, CDF와 PDF는 다음과 같이 쓸 수 있다.

이를 그래프로 그려보면,

위와 같다. 마지막으로 expected value를 구해보면,

이로서 mixed RV인 Y에 대한 문제를 풀어봤다.

정의

f_X(x)가 impulse와 0이 아닌 실수를 포함하고 있을 때, X를 mixed random variable 이라고 한다.

쉽게 생각하면 어떤 discrete RV와 continuous RV가 섞여있으면 mixed RV라고 할 수 있다.
이제, 지금까지의 모든 random variable 타입에 대해서 정리해 볼 필요가 있을 것 같다.

어떤 random variable X에 대해서 다음이 성립한다.

(a) X는 항상 F_X(x) = P[X ≤ x]로 표현되는 CDF를 가진다.
(b) 만약 F_X(x) 가 piecewise flat 하고 discontinuous jump를 가지고 있으면, X는 discrete RV이다.
(c) 만약 F_X(x)가 continuous하면, X는 continuous RV이다.
(d) 만약 F_X(x)가 piecewise continuous function과 함께 discontinuity를 가지고 있으면, X는 mixed RV이다.
(e) 만약 X가 discrete 또는 mixed RV면, 그의 PDF f_X(x)는 하나 이상의 delta function을 갖는다.

(b), (d)에서 piecewise라는 표현이 있는데, '구분적으로'라는 뜻을 가지는 단어로,
piecewise flat이라는 말은 각 discontinuity로 구분되는 부분들이 모두 flat, 즉 평평하다는 이야기이다.
풀어서 이야기하면 결국 '계단 모양'의 CDF를 가지는 X는 discrete RV이다.
한편, piecewise continuous function도 마찬가지로 계속 continuous한 function이 아니라.
부분적으로는 continuous하지만, 중간중간 discontinuity 포인트가 존재하는 것으로 보면 된다.