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[Fourier Transforms] Table Fourier Cosine Transform Fourier Sine Transform Fourier Transform Laplace Transform과 마찬가지로 모든 경우에 대해서 Fourier Transform을 외우는 것이 어렵기 때문에, 여러가지 경우에 대해서, 이러한 Table을 만들어 그때그때 참고하도록 한다. 위에서 설명되지 않은 함수들은 다음 링크를 참조하기 바란다. Γ(k) - http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function 공감수 2 댓글수 0 2011. 2. 17.
[Fourier Transforms] Fast Fourier Transform (FFT) 왜 FFT를 사용하는가? DFT를 통해서 f(x)의 Frequency Spectrum을 볼 수 있다. 일반적으로 DFT를 수행하기 위해 몇번의 계산을 거쳐야 할까. 이 식을 계산하려면 n번 더해야 한다. 이러한 계산을 다시 n번만큼 해줘야 최종 DFT를 얻는다. 즉, n^2번의 계산이 필요한 셈인데, 만약 데이터 갯수가 1천개라면, 백만번의 계산을 해야한다는 결론이 나온다. Fast Fourier Transform(FFT)를 사용하는 이유는 이 계산 수의 절반이하 수준의 계산수를 통해 Aliasing을 피하면서 같은 결과를 얻을 수 있기 때문이다. Aliasing이라는 것은, 차이가 모호해지는 것 정도로 이해하고 있으면 된다. 이유는 간단하다. Sampling의 빈도가 낮아진다는 것은 곧, DFT의 기반.. 공감수 0 댓글수 0 2011. 2. 17.
[Fourier Transforms] Discrete Fourier Transform (DFT) 개요 어떠한 경우에는 함수 대신 Sampling 된 데이터에 대해서 Fourier Transform을 해야할 경우가 있다. 이때 사용하는 것이 Discrete Fourier Transform이다. 유도 먼저 f(x)가 Periodic 하다고 가정하자. 편의상 Period를 2π로 잡자. 그리고 이 Period에서 N만큼의 Sample을 얻었다고 하자. 그러면 어떤 Sample Point x_k는 다음과 같이 표시할 수 있다. 즉, f(x)가 이러한 Points에 대하여 Sampling 되었다고 할 수 있다. 위 식은 Complex Trigonometric Polynomial q(x)를 나타낸 것으로, f(x)를 이러한 q(x)의 형태로 나타낼 수 있다고 했을때, x 대신 x_k를 넣어 식을 다시 써보면,.. 공감수 2 댓글수 0 2011. 2. 17.
[Fourier Transforms] Properties and Convolution Existence f(x)가 x축에서 Absolutely Integrable하고, 모든 유한한 구간에서 Piecewise Continuous할때, f(x)의 Fourier Transform이 존재한다는 것이 Theorem of Existence of the Fourier Transform이다. Piecewise Continuous에 대한 내용: http://blastic.tistory.com/94 Absolutely Integrable에 대해서는 아래 링크를 참조하기 바란다. (링크: https://ccrma.stanford.edu/~jos/st/Existence_Fourier_Transform.html) Absolutely Integrable을 간단히 설명하면, f(x)를 절대값으로 씌운 것, 즉 |f.. 공감수 1 댓글수 1 2011. 2. 15.
[Fourier Transforms] Concepts Complex Fourier Integral 이전의 포스트에서 다룬 Fourier Cosine and Sine Transform은 실수 범위에 대한 Transform이다. 이제 Fourier Integral을 토대로, 복소수 범위에 대한 Transform인 Fourier Transform을 얻어 보려고 한다. 일단, 그 전에 Complex Fourier Integral을 얻어야 한다. 차근차근 식을 써 내려가 보도록 하겠다. 먼저 Fourier Integral을 다시 가져와 보면, 여기서 A(w)와 B(w)를 f(x)에 다시 집어 넣고 식을 다시쓰면, 위와 같이 정리할 수 있다. 위의 Integral을 보면, w에 관한 Integral의 경우 아래끝이 0임을 볼 수 있는데, 이것을 -∞으로 확장할 것이다.. 공감수 1 댓글수 1 2011. 2. 15.
[Fourier Transforms] Fourier Cosine and Sine Transforms 개요 Integral Transform 이란 주어진 함수를 Integral의 형태로 변환시키는 것으로, ODE와 PDE, Integral Equation을 푸는데 자주 사용되는 도구라고 할 수 있다. 이전에 다뤘던 Laplace Transform 역시 Integral Transform의 한 종류라고 할 수 있다. 여기서는 Fourier Transform에 대해 다뤄보겠다. Fourier Transform은 Fourier Integral으로부터 얻을 수 있다. Fourier Transform은 Fourier Cosine Transform과 Fourier Sine Transform으로 나뉘며, 각각은 Even Function과 Odd Function에 대해 사용한다. Fourier Cosine Transfo.. 공감수 0 댓글수 2 2011. 2. 14.
[Fourier Transforms] Fourier Integral 유도 지금까지 다룬 Fourier Series는 Periodic 한 것이나, Finite Interval한 함수에 대해서는 상당히 강력한 해결도구가 되지만, Non-periodic하거나 x축 전체를 사용하는 함수에 대해서는 이를 그대로 적용하기 어렵다. 그래서 나오게 된 개념이 바로 Fourier Integral이다. Fourier Integral은 만약 Period에 사용되는 변수 L을 무한대로 보내버렸을 때에는 과연 어떻게 될 것인가에 대한 생각으로부터 출발한다. L → ∞ 에 따라서 Summation이 Integral로 바뀔 것을 예상해 볼 수 있으며, 식의 간결함을 위해서 w_n을 쓰긴 했지만, 이제 n이 integer일 필요는 없게 되었다. 따라서 이후에는 w_n 대신 w로 바꾸어 쓰게 될 것이.. 공감수 2 댓글수 13 2011. 2. 14.
[Fourier Transforms] Half-Range Expansions 개요 위 그림의 f(x)를 살펴보자. 반복되는 함수가 아닌, Non-periodic Function이다. 이러한 함수에 대해서 Fourier Series를 만들 방법은 없을까? Half-range Expansion은 f(x)자체를 나타내지는 못하지만, 그러한 함수의 모양이 반복되는 함수를 만들어내는 방법이 될 수는 있다. 위 그림의 (b)와 (c)는 각각 Even Periodic Extension, Odd Periodic Extension의 모양을 보여주고 있다. 각각 2L의 Period를 가지는 Periodic Function이 되었으며, 이러한 함수들은 Fourier Series를 만들 수 있다. 결론적으로 말하면 L이라는 길이의 함수를, Odd, 혹은 Even Function 처럼 반복되는 식 처럼.. 공감수 0 댓글수 2 2011. 2. 13.
[Fourier Transforms] Fourier Cosine and Sine Series 정의 이전 포스트의 예제에서도 볼 수 있듯이, 함수가 Even Function인 경우에 b_n 값이 0이 된다든지, (링크: http://blastic.tistory.com/102) 함수가 Odd Function인 경우에 a_0와 a_n 값이 0이 되는 경우를 볼 수 있는데, (링크: http://blastic.tistory.com/101) 이것을 좀 더 유형화 시킨 것이 바로 Even and ODD Function에 대한 Fourier Series이다. 조금 더 정확한 표현으로는 Fourier Cosine Series, Fourier Sine Series가 되겠다. Fourier Cosine Series Fourier Sine Series Example f(x) = x + π, (-π < x 공감수 0 댓글수 0 2011. 2. 13.
[Fourier Transforms] Fourier Series for p = 2L 정의 이전의 포스트에서는 Period가 2π인 함수들에 대해서 다뤘다. 하지만 모든 Periodic Function이 모두 2π의 Period를 가질 수는 없는 일. 이번 포스트에서는 Period를 2L이라는 임의의 Period로 바꾸는 방법을 보여주려고 한다. 여기서 사용되는 방법은 Change of scale이라는 것인데, 먼저 이전의 Fourier Series 모양의 f(x) 대신 g(v)로 다시 식을 써보면, 이제 Change of scale을 사용해 v = kx 에 들어갈 k를 구할 것이다. v는 2π의 Period를 가진 함수, x는 새롭게 구할 2L의 Period를 가질 함수가 되어야 한다. 2π = k (2L) k = π / L dv = (π/L) dx 이는 곧 다음과 같은 변화를 이끌어 .. 공감수 0 댓글수 0 2011. 2. 13.
[Fourier Transforms] Fourier Series 정의 Fourier Series는 Periodic Function을 나타내는 기본적인 도구로서, 여러 방면에서 상당히 유용하게 쓰인다. Periodic Function에 대한 자세한 내용에 대해서는 (링크: http://blastic.tistory.com/61)를 참조하자. 우리는 이런 Periodic Function 중에서 Period가 2π인 녀석들에 대한 새로운 표현방법에 대해 알아보려고 한다. (여기서의 Period는 Fundamental Period가 아니라는 점을 상기하도록 하자) 먼저 생각해 볼 수 있는 간단한 2π-period-function 들을 나열해 보자. 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 2x, ... , sin nx, cos nx, ... 공감수 0 댓글수 25 2011. 2. 13.
[Laplace Transforms] Differentiation and Integration of Transforms Differentiation of Transforms 이번엔 Laplace Transforms 자체를 미분과 적분을 해보려고 한다. 먼저 F(s) 대해 미분을 해보자. 위와 같은 결론을 얻을 수 있는데, 이것이 의미하는 것을 정리해 보면 아래와 같이 쓸 수 있다. 원래 함수 앞에 t가 붙는 경우, Transform에 미분의 효과를 미치는 것을 볼 수 있다. 좀 더 자세한 접근을 위해 예제를 풀어보도록 하자. Example 1 t f(t) = t sin αt 위 식을 Laplace Transform 해보자. 정의를 이용하면 쉽게 풀 수 있다. Integration of Transforms 이번엔 F(s)를 적분할 차례다. s를 Integrating 해줄 변수는 혼란을 방지하기 이해서 s위에 tilde를 올.. 공감수 0 댓글수 0 2011. 2. 11.
[Laplace Transforms] Convolution Definition Laplace Transform끼리 곱을 해보자. 그 결과를 Inverse Transform 했을 때는 어떻게 나타날까? Convolution은 이 질문에 대한 직접적인 답이 될 것이다. 먼저 이해를 돕기 위해 다음 식을 살펴보자. 거의 보통은 위 식을 만족한다. 그냥 단순히 생각해 볼 수 있는 예제 f(x) = 1, g(x) = 1 를 떠올려보자. 각각의 Laplace Transform은 1/s이다. 우변은 1/s^2가 되겠지만, 좌변은 여전히 1/s이다. 만약 Laplace Trasnform의 곱을 f와 g에 대한 식으로 나타내고 싶다면 어떻게 할까? 그래서 고안해 낸 것이 바로 Convolution이다. 표현은 다음과 같다. 이것만 가지고서는 Convolution이 정확히 어떤 .. 공감수 0 댓글수 0 2011. 2. 11.
[Laplace Transforms] Unit-impulse Function Unit-impulse Function (Dirac's Delta Function) 여기서의 정의는 위와 같다. 이전의 포스트와 마찬가지로 Signal and System에서 이미 다루었던 적이 있는 녀석이다. 간단히 말해 극히 작은 시간동안에 크기 1의 Input이 들어오는 것으로 생각하면 된다. 자세한 내용은 링크(http://blastic.tistory.com/53)를 참조하기 바란다. Sifting Property sift 라는 단어는 없다. 여기서의 Sifting Property는 Shifting Property와 헷갈리는 것을 막기위한 것이다. Sift는 체로 치다, 체로 거르다라는 뜻으로 delta function에 의해 g(t)의 t=a에 해당하는 값이 걸러져 나와 유래되었다. (angel.. 공감수 0 댓글수 2 2011. 2. 9.
[Laplace Transforms] t-Shifting Unit-step Function Signal and System에서 이미 다루었던 적이 있는 녀석이다. 이 함수에 대해서는 링크(http://blastic.tistory.com/53)를 참조하기 바란다. 여기서는 아래와 같이 정의된다. 어떤 지점 a 에서 값이 점프한다. Signal and System에서 정의된 것은 a = 0, 즉 u(t)인 상태이다. 이제 Unit-step Function의 Laplace Transform을 구해보도록 하자. Unit-step Function이 자주 쓰이는 이유는 이 함수 자체가 어떠한 Switch 역할을 하기 때문이다. 특정한 영역에서만 값을 가지고 그 이외에서는 0이 되는데, 이는 각각 On, Off라고 생각할 수 있다. 즉, u(t) - u(t-2) + u(t.. 공감수 2 댓글수 0 2011. 2. 9.
[Laplace Transforms] Derivatives and Integrals Derivatives 지난번 포스트에서 'Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다.' 라고 소개해 놓고는 정확히 어떤 방법으로 ODE를 간단히 푸는데 Laplace Transform이 도움이 되는지에 대해서는 설명하지 않았다. Derivative를 Laplace Transform 하는 방법은 다음과 같다. f(t)의 Derivative인 f'(t)에 대해서 Laplace Transform을 수행하여 보면, 다음과 같이 식을 쓸 수 있다. Second-level Derivative에 대해서도 마찬가지다. 차수가 더 높아지더라도 결론적으로는 모든 Derivative가 Laplace Transform 이후에는 사라진다. 결론적으로는 단순한 대수학적인 방법만으로 식을 정리할 .. 공감수 0 댓글수 0 2011. 2. 9.
[Laplace Transforms] Table 모든 경우에 대해서 Laplace Transform을 외우는 것이 어렵기 때문에, 여러가지 경우에 대해서, 이러한 Table을 만들어 그때그때 참고하도록 한다. 위에서 설명되지 않은 함수들은 다음 링크를 참조하기 바란다. Γ(k) - http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function J_0(at) - http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function Si(t) - http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function 공감수 0 댓글수 0 2011. 2. 8.
[Laplace Transforms] Basic Concepts 왜 Laplace Transform을 사용하는가? Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다. 대략적인 프로세스를 설명하자면, 주어진 ODE를 Laplace Transform하면, 복잡했던 식들이 단순한 대수방정식으로 바뀌게 되는데, 이 방정식을 풀고 난 후, 다시 Inverse Transform하여 원하는 Solution을 얻는 것이다. 이러한 방법의 장점은 두가지가 존재한다. 첫째, Initial Value Problem을 풀기 위해서 General Solution을 구해야 하거나 Nonhomogeneous ODE를 풀기 위해 Homogeneous ODE를 먼저 풀고 나서 풀어야 하는 기존의 방식과는 달리 조금 더 Direct하게 문제를 풀 수 있다. 둘째, Sign.. 공감수 0 댓글수 0 2011. 2. 8.
[Second-order ODEs] Method of Variation of Parameters Form 지난 포스트에서는 p(x)와 q(x)가 Constant로 나타나는 Nonhomogeneous Linear ODE에 대해서만 Particular Solution y_p를 구하는 방법에 대해 알아봤었다. 여기서는 모든 Nonhomogeneous Linear ODE에 대해서, Method of Variation of Parameters를 통해 Particular Solution y_p를 구해보도록 하겠다. 기본적인 형태는 위와 같다. Integration이 때로 복잡한 식으로 나타날 가능성이 많기 때문에, p(x)와 q(x)가 Constant로 나타난다면 이전에 다룬 방법을 사용하는 편이 나을 수 있다. 이제 실제 Example을 통해 어떤 식으로 적용이 가능한지 알아보도록 하겠다. Example y.. 공감수 0 댓글수 16 2011. 2. 8.
[Second-order ODEs] Nonhomogeneous ODEs Definition Nonhomogeneous Linear ODEs의 기본 모양을 다시 가져와 보면, y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) 이다. 우리는 이 ODE의 Solution을 구하는 방법에 대해 배울 것이다. 다음의 정의를 살펴보도록 하자. Nonhomogeneous Linear ODEs에서의 General Solution은 위와 같이 정의되는데, y_h와 y_p로 나뉘어져 있는것을 볼 수 있다. y_h는 r(x) = 0 으로 잡았을때 구할 수 있는 Homogeneous Linear ODEs의 General Solution을 의미한다. 한편 y_p는 arbitrary constant를 포함하지 않는 Nonhomogeneous Linear ODEs의 어떤 Solution을 의미한다. .. 공감수 2 댓글수 11 2011. 2. 7.
[Second-order ODEs] General Theory and Wronskian Existence and Uniqueness Theorem 이번 포스트에서는 Homogeneous Linear ODEs의 일반해에 대해 다뤄볼 것이다. Homogeneous Linear ODEs의 모양을 다시 한번 가져와 보면 다음과 같다. y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 어떤 일정한 Open Interval I와, 그 구간에 속한 x_0에 대해서, p(x)와 q(x)가 Continuous Function이라면, y(x_0)=K_0, y'(x_0)=K_1과 같은 Initial Values에 의해, y(x)는 Open Interval I에서 Unique Solution을 가진다. 이를 Initial Value Problem 에서의 Existence and Uniqueness Theorem이라고.. 공감수 0 댓글수 6 2011. 2. 7.
[Second-order ODEs] Euler-Cauchy Equations Form 이러한 꼴로 나타낼 수 있는 미분 방정식이 있을 때 이를 Euler-Cauchy Equation이라고 부른다. 이렇게 나타나는 미분방정식의 경우에는 앞서 다뤘던 Homogeneous Linear ODE with Constant Coefficients의 방법과 유사한 방식으로 General Solution을 구할 수 있다. Basis y의 Solution의 형태가 x의 m제곱 형태로 나타난다고 가정하고, y'와 y''를 구해서 Form에 대입한다음 정리하는 것으로, Auxiliary Equation을 이끌어낼 수 있습니다. Auxiliary Equation: m^2 + (a-1)m + b = 0 이 Equation을 통해 구한 m_1과 m_2는 각각 y_1 = x^{m_1}, y_2 = x^{m_.. 공감수 0 댓글수 4 2011. 2. 7.
[Second-order ODEs] with Constant Coefficients s개요 이번 포스트에서는 Second-order Homogeneous Linear ODEs의 기본 형에서 p(x)와 q(x)가 각각 Constant 형태인 것에 대해서 분석해볼 것이다. 기본적인 모양은 다음과 같이 쓸 수 있다. y'' + ay' + by = 0 우리는 First-order ODEs의 Exponential Growth and Decay에서 해의 모양이 Exponential하게 나오는 것을 보았다. 여기에서 힌트를 얻어 이 ODE에도 다음과 같은 해를 넣어보도록 하자. y=e^{λx} 이를 토대로 y'와 y''를 구해 식을 써보면, 여기서 Characteristic Equation (Auxiliary Equation)을 구할 수 있게 되는데, 바로 이것이 그것이며, λ는 이 Characte.. 공감수 0 댓글수 4 2011. 2. 6.
[Second-order ODEs] Basic Concepts Linearity y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) Second-order ODE는 위와 같이 Second-level Derivative가 최고 차수인 ODE를 말하며, 위와 같은 Standard Form으로 쓸 수 있을 때, Linear라고 하며, 그렇지 못할 때 Nonlinear라고 한다. 마찬가지로 y'' 대신 f(x)y'' 의 형태로 되어있는 경우 양변을 f(x)로 나누어야 한다. Homogeneity y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 위와 같은 형태로 쓸 수 있는 경우 Homogeneous라고 하며, r(x)가 0이 아닌 경우 Nonhomogeneous라고 한다. 앞으로 알아보게 될 Second-order ODE는 Homogeneous와 Nonhomogeneous로 구.. 공감수 0 댓글수 6 2011. 2. 5.
[First-order ODEs] Linear ODEs and Bernoulli Equation Linear ODE y' + p(x)y = r(x) 어떤 First-order ODE를 위와같은 형태로 쓸 수 있을 때, 위 ODE를 linear하다고 말한다. 만약 첫번째 Term이 f(x)y' 와 같은 꼴이라면 식 전체를 f(x)로 나눠주면 된다. 보통 r(x)는 Input, 또는 Excitation으로 많이 사용되며, y(x)는 Output, Response로 사용된다. Homogeneous Linear ODE y' + p(x)y = 0 위와 같은 형태의 ODE를 Homogeneous Linear ODE 라고 하며, General Solution은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. c=0라고 잡을 경우, 모든 x에 대해서 y(x) = 0 인 trivial solution을 구할 수 있다. Non.. 공감수 1 댓글수 4 2011. 2. 5.
[First-order ODEs] Exact ODEs General Form of Exact ODEs M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Exact ODE는 위와 같은 형태를 가지는데, M(x,y), N(x,y)는, x와 y로 이루어진 식으로 생각하면 된다. 이러한 형태는 partial derivative로 바꾸어 쓸 수 있는데, 식에서도 알 수 있듯, 어떤 함수 u(x,y)가 Constant일때, 이 함수의 partial derivative의 모양이 곧 Exact ODE가 되는 것이다. 물론, 설명할 필요도 없이 du는 0이 된다. M(x,y), N(x,y)는 위와 같이 정의된다. 그런데, 식을 써보면 위와 같은 결론이 나오게 된다. 위 결론은 어떠한 ODE가 Exact ODE인지를 증명하는데 쓰인다. 한편, 함수 u는 다음과 같은 방법으로 구.. 공감수 1 댓글수 12 2011. 2. 5.
[First-order ODEs] Separable ODEs General Form of Separable ODEs g(y) y' = f(x)와 같은 형태의 ODE를 Separable ODE 라고 하며, 위와 같은 순서에 의해서 풀이를 구할 수 있다. 이 방법을 method of separating variables 라고 한다. 식만 봐서 잘 이해가 안 간다면, dy와 y에 관한 식, dx와 x에 관한 식, 두 식을 각각 양변에 놓은 후 양변을 부정적분하는 것으로 해를 구한다고 기억해 두면 되겠다. 구체적인 예제를 통해 어떻게 Solution을 구하는지 보도록 하자. Example 1 y' = 1 + y^2 어떤 ODE가 separable 하다면 위와 같은 식을 통해 풀어낼 수 있다. Modeling Problem Carbon-14가 Carbon-12로 붕괴하는 .. 공감수 0 댓글수 4 2011. 2. 4.
[First-order ODEs] Basic Concepts 개요 이 카테고리에서는 각종 물리적, 공학적 문제들에 대한 식을 세우는 Modeling 과정을 통해 문제를 수학적 Model로 환원한 다음, (아마도 Differential Equation이 될것이다.) 이에 대한 해법을 토대로 solution을 얻는 방법을 배우게 될 것이다. 먼저 제목에 쓰인 ODE란 Ordinary Differential Equation을 줄인 말이다. 그냥 보편적인 Differential Equation 정도로 생각하면 된다. First-order란 이미 알고 있겠지만 '1차의'라는 뜻으로, 즉 다시 말하면 1차 미분방정식이 되겠다. First-order ODE의 경우 first derivative만 포함되어있는 DE를 뜻한다. (번역하자면, 1번 미분된 미지수만 포함되어있는 DE.. 공감수 1 댓글수 12 2011. 2. 4.

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