2011/02/17
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2011.02.17 [Fourier Transforms] Table
Fourier Cosine Transform Fourier Sine Transform Fourier Transform Laplace Transform과 마찬가지로 모든 경우에 대해서 Fourier Transform을 외우는 것이 어렵기 때문에, 여러가지 경우에 대해서, 이러한 Table을 만들어 그때그때 참고하도록 한다. 위에서 설명되지 않은 함수들은 다음 링크를 참조하기 바란다. Γ(k) - http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
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2011.02.17 [Fourier Transforms] Fast Fourier Transform (FFT)
왜 FFT를 사용하는가? DFT를 통해서 f(x)의 Frequency Spectrum을 볼 수 있다. 일반적으로 DFT를 수행하기 위해 몇번의 계산을 거쳐야 할까. 이 식을 계산하려면 n번 더해야 한다. 이러한 계산을 다시 n번만큼 해줘야 최종 DFT를 얻는다. 즉, n^2번의 계산이 필요한 셈인데, 만약 데이터 갯수가 1천개라면, 백만번의 계산을 해야한다는 결론이 나온다. Fast Fourier Transform(FFT)를 사용하는 이유는 이 계산 수의 절반이하 수준의 계산수를 통해 Aliasing을 피하면서 같은 결과를 얻을 수 있기 때문이다. Aliasing이라는 것은, 차이가 모호해지는 것 정도로 이해하고 있으면 된다. 이유는 간단하다. Sampling의 빈도가 낮아진다는 것은 곧, DFT의 기반..
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2011.02.17 [Fourier Transforms] Discrete Fourier Transform (DFT)
개요 어떠한 경우에는 함수 대신 Sampling 된 데이터에 대해서 Fourier Transform을 해야할 경우가 있다. 이때 사용하는 것이 Discrete Fourier Transform이다. 유도 먼저 f(x)가 Periodic 하다고 가정하자. 편의상 Period를 2π로 잡자. 그리고 이 Period에서 N만큼의 Sample을 얻었다고 하자. 그러면 어떤 Sample Point x_k는 다음과 같이 표시할 수 있다. 즉, f(x)가 이러한 Points에 대하여 Sampling 되었다고 할 수 있다. 위 식은 Complex Trigonometric Polynomial q(x)를 나타낸 것으로, f(x)를 이러한 q(x)의 형태로 나타낼 수 있다고 했을때, x 대신 x_k를 넣어 식을 다시 써보면,..