2011/02/07
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2011.02.07 [Second-order ODEs] Nonhomogeneous ODEs
Definition Nonhomogeneous Linear ODEs의 기본 모양을 다시 가져와 보면, y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) 이다. 우리는 이 ODE의 Solution을 구하는 방법에 대해 배울 것이다. 다음의 정의를 살펴보도록 하자. Nonhomogeneous Linear ODEs에서의 General Solution은 위와 같이 정의되는데, y_h와 y_p로 나뉘어져 있는것을 볼 수 있다. y_h는 r(x) = 0 으로 잡았을때 구할 수 있는 Homogeneous Linear ODEs의 General Solution을 의미한다. 한편 y_p는 arbitrary constant를 포함하지 않는 Nonhomogeneous Linear ODEs의 어떤 Solution을 의미한다. ..
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2011.02.07 [Second-order ODEs] General Theory and Wronskian
Existence and Uniqueness Theorem 이번 포스트에서는 Homogeneous Linear ODEs의 일반해에 대해 다뤄볼 것이다. Homogeneous Linear ODEs의 모양을 다시 한번 가져와 보면 다음과 같다. y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 어떤 일정한 Open Interval I와, 그 구간에 속한 x_0에 대해서, p(x)와 q(x)가 Continuous Function이라면, y(x_0)=K_0, y'(x_0)=K_1과 같은 Initial Values에 의해, y(x)는 Open Interval I에서 Unique Solution을 가진다. 이를 Initial Value Problem 에서의 Existence and Uniqueness Theorem이라고..
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2011.02.07 [Second-order ODEs] Euler-Cauchy Equations
Form 이러한 꼴로 나타낼 수 있는 미분 방정식이 있을 때 이를 Euler-Cauchy Equation이라고 부른다. 이렇게 나타나는 미분방정식의 경우에는 앞서 다뤘던 Homogeneous Linear ODE with Constant Coefficients의 방법과 유사한 방식으로 General Solution을 구할 수 있다. Basis y의 Solution의 형태가 x의 m제곱 형태로 나타난다고 가정하고, y'와 y''를 구해서 Form에 대입한다음 정리하는 것으로, Auxiliary Equation을 이끌어낼 수 있습니다. Auxiliary Equation: m^2 + (a-1)m + b = 0 이 Equation을 통해 구한 m_1과 m_2는 각각 y_1 = x^{m_1}, y_2 = x^{m_..