Signals and Systems에서의 Fourier Series 이전 포스트에서 Signal을 Decompose하는 방법 중 하나인 Convolution에 대해 다뤄보았다. Convolution은 어떤 Signal을 수많은 Basic Elementary Function들로 나눌 수 있게 만드는 도구가 된다. 여기서 소개하려는 것은 Fourier Series라고 하는 새로운 Decompose Tool이다. Convolution이 Impulse들의 합이었다면, 여기서는 Sinusoid의 합으로 어떤 Signal을 나타내게 될 것이다. 물론 Real Form이 나올 수도 있고, Complex Form이 될 수도 있다. 이러한 발상을 통해 Signal을 Frequency Domain으로 나타낼 수 있는 방법..

정의 Fourier Series는 Periodic Function을 나타내는 기본적인 도구로서, 여러 방면에서 상당히 유용하게 쓰인다. Periodic Function에 대한 자세한 내용에 대해서는 (링크: http://blastic.tistory.com/61)를 참조하자. 우리는 이런 Periodic Function 중에서 Period가 2π인 녀석들에 대한 새로운 표현방법에 대해 알아보려고 한다. (여기서의 Period는 Fundamental Period가 아니라는 점을 상기하도록 하자) 먼저 생각해 볼 수 있는 간단한 2π-period-function 들을 나열해 보자. 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 2x, ... , sin nx, cos nx, ...

왜 Laplace Transform을 사용하는가? Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다. 대략적인 프로세스를 설명하자면, 주어진 ODE를 Laplace Transform하면, 복잡했던 식들이 단순한 대수방정식으로 바뀌게 되는데, 이 방정식을 풀고 난 후, 다시 Inverse Transform하여 원하는 Solution을 얻는 것이다. 이러한 방법의 장점은 두가지가 존재한다. 첫째, Initial Value Problem을 풀기 위해서 General Solution을 구해야 하거나 Nonhomogeneous ODE를 풀기 위해 Homogeneous ODE를 먼저 풀고 나서 풀어야 하는 기존의 방식과는 달리 조금 더 Direct하게 문제를 풀 수 있다. 둘째, Sign..

Signal Energy Discrete-time에서의 Signal Energy는 다음과 같이 정의된다. Signal 전체 범위에서 Signal을 제곱한 값을 모두 더한 결과가 곧 Signal Energy가 된다. Continuous-time에서의 Signal Energy를 구하는 방법과 동일하다. 이러한 경우 수렴하는 Signal이라든지, 대부분의 구간에서 0값을 가지는 Signal이 아닌 이상 Signal Energy는 수렴하지 않는다. Signal의 전체 범위는 곧, 모든 시간 (time index 역시 무한이다.)에 대한 범위이기 때문이다. 일정하게 반복되는 Signal이나 계속해서 커지는 (혹은 작아지는) Signal의 경우 Signal Energy는 infinite하게 된다. Average S..

정의 어떤 Signal에서 n을 n + mN으로 Time Shifting 하더라도 Signal 전체에 변화가 없는 경우 periodic하다고 말하며, 그 함수를 Periodic Function이라고 한다. m은 임의의 정수이며, N은 함수의 어떠한 period에 해당한다. 물론 N 대신 Fundamental Period인 N_0도 상관없다. 위 그림은 정의를 잘 보여주고 있다. 예제 g[n] = 2cos(9πn/4) - 3sin(6πn/5) 이 함수에서 Fundamental Period를 구하는 문제이다. (이미 그림에 답이 나와있다) g[n]은 위와 같이 정의된다. 우리는 이미 Continuous-time 에서 두 개의 Periodic Function의 합에서 Fundamental Period와 Fre..

정의 및 특징 Periodic Function은 일정한 간격으로 같은 모양의 Signal이 계속되는 함수를 의미한다. 식으로 나타내보면 아래와 같다. 위에서는 n은 아무 정수, 즉 -2, -3, 1, 0, ... 등등 모든 정수에 대해서 성립해야 하며, T는 함수의 period라고 하는 것인데, 말 그대로 간격이다. 위 그림에서는 T_0가 표시되어있는데 이것을 Fundamental Period라고 부른다. 이것은 함수에서 가능한 가장 작은 Period를 말한다. 다시 말해서, T = 2T_0가 되든 T = 100T_0가 되든 어쨌든 식을 만족하기 때문에 함수의 Period로 사용할 수 있다. 하지만 Fundamental Period는 두개 이상 존재할 수 없다. 한편, f_0은 Fundamental Fr..