Conditional PMF 이전 포스트에서 어떤 event를 가지고 conditioning을 했었다. 그렇다면, 만약 어떤 event B가 {X = x}이거나 {Y = y}와 같은 case라면 어떨까. P_Y(y) > 0 인 event Y = y에 대한 X의 conditional PMF는 다음과 같이 정의된다. 이것의 의미는 Y가 가질 수 있는 각각의 값에 대해, 각각의 conditional PMF가 정의될 수 있다는 것이다. 한편, X와 Y의 joint PMF와 conditional PMF의 관계는 다음과 같다. 이에 대한 증명은, 와 같이 conditional PMF의 정의로 부터 얻을 수 있다. Notation 자체가 상당히 머리에 와닿지 않는 편인데, 예제를 살펴보면 좀 더 이해가 쉬울 것 같다..

Conditional Joint PMF Discrete random variable X, Y에 대해서 어떤 event B (P[B] > 0)에 대한 X와 Y의 conditional joint PMF는 다음과 같이 정의된다. 이로 부터 다음이 성립한다. 이전의 discrete RV에서의 conditioning과 크게 다를 것이 없는것이다. 다음의 예제를 살펴보자. 왼쪽과 같은 joint PMF가 있을 때, 'X + Y ≤ 4' 라는 event에 대해서 conditional joint PMF를 구해야 한다면, 먼저 해당 event에 속하는 outcome들의 확률을 파악한 다음, 원래의 joint PMF에서 그만큼 나눠주면 된다. 즉, 여기서 해당되는 점들은 1/4, 1/8, 1/8, 1/12의 값을 갖는 지..

Expected Value Random variable X와 Y에 대해 W = g(X, Y)의 expected value는 다음과 같이 구할 수 있다. W = g(X, Y)의 expected value를 구하기 위해서 joint PDF또는 joint PMF를 구하는 수고를 굳이 할 필요는 없다. 위의 정의를 이용하여 많은 응용이 가능하다. Expected Value of Sum of Functions X, Y에 대한 여러가지 함수들이 덧셈 형태로 표현이 된다면, 한꺼번에 계산하는 것이 어려운 경우, 각각의 함수에 대해 expected value를 먼저 구해서 더해도 상관없다. 이것이 성립할 수 있는 것은 summation과 integral에 대해서 linearity가 성립하기 때문이다. 이러한 정리는 또..

개요 두 개의 random variable을 조합하여 우리가 필요한 어떤 다른 정보를 얻을 수 있는, 새로운 random variable을 W = g(X,Y) 와 같이 얻을 수 있다. X, Y에 대한 joint PMF나 joint PDF가 이미 있다면, 우리가 생각해 보아야 할 문제는 W에 대한 probability model을 이 joint PMF와 joint PDF에서 어떻게 이끌어 낼것인가 하는 것이다. Case I: Discrete RV 먼저 discrete RV인 X, Y에 대해서, 새롭게 얻고자 하는 random variable W의 sample space는 곧 g(X,Y)의 모든 가능한 value가 될 것이다. 그러면 W의 PMF는 X,Y의 joint PMF와 다음과 같은 관계를 갖는다. 여..

Marginal PDF Random variable X,Y와 그의 joint PDF f_X,Y(x,y)에 대해서 다음이 성립한다. Joint PDF를 통해서 각 x, y에 대한 PDF를 구할 수 있다. Marginal PMF의 continuous RV 버전이라고 볼 수 있다. 이전에서 summation을 사용했다면 여기서는 continuous한 구간을 편적분 한 것이라고 보면 된다. 증명은 joint PDF의 정의로 부터, 위 식의 양변의 derivative를 구하면 곧, 위 정리가 그대로 나온다. 예제 다음과 같은 joint PDF가 있을 때, marginal PDF를 구하라. 앞의 정의를 이용해야 하는데, 여기서도 위끝 아래끝을 정확히 적는 것이 좋다. 먼저 joint PDF의 형태를 좌표평면상에서 ..

정의 Continuous random variable X와 Y의 joint probability density function은 f_X,Y(x,y)로 표시하고 joint CDF와 다음과 같은 관계를 가진다. Single random variable X의 PDF가 단위길이에 대한 확률의 측정이라면, 두개의 random variable X와 Y의 PDF는 단위넓이에 대한 확률의 측정이라고 볼 수 있다. PDF의 정의로 부터, 즉, 어떤 작은 dx, dy에 대해서 위 식이 성립하는 것이고, 이는 곧 joint CDF의 derivative가 joint PDF가 됨을 의미한다. Joint PDF의 정의와 위 식은 곧, joint PDF와 joint CDF가 X, Y에 대한 동일한 확률 모델(equivalent p..