2011/02/11
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2011.02.11 [Laplace Transforms] Differentiation and Integration of Transforms
Differentiation of Transforms 이번엔 Laplace Transforms 자체를 미분과 적분을 해보려고 한다. 먼저 F(s) 대해 미분을 해보자. 위와 같은 결론을 얻을 수 있는데, 이것이 의미하는 것을 정리해 보면 아래와 같이 쓸 수 있다. 원래 함수 앞에 t가 붙는 경우, Transform에 미분의 효과를 미치는 것을 볼 수 있다. 좀 더 자세한 접근을 위해 예제를 풀어보도록 하자. Example 1 t f(t) = t sin αt 위 식을 Laplace Transform 해보자. 정의를 이용하면 쉽게 풀 수 있다. Integration of Transforms 이번엔 F(s)를 적분할 차례다. s를 Integrating 해줄 변수는 혼란을 방지하기 이해서 s위에 tilde를 올..
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2011.02.11 [Laplace Transforms] Convolution
Definition Laplace Transform끼리 곱을 해보자. 그 결과를 Inverse Transform 했을 때는 어떻게 나타날까? Convolution은 이 질문에 대한 직접적인 답이 될 것이다. 먼저 이해를 돕기 위해 다음 식을 살펴보자. 거의 보통은 위 식을 만족한다. 그냥 단순히 생각해 볼 수 있는 예제 f(x) = 1, g(x) = 1 를 떠올려보자. 각각의 Laplace Transform은 1/s이다. 우변은 1/s^2가 되겠지만, 좌변은 여전히 1/s이다. 만약 Laplace Trasnform의 곱을 f와 g에 대한 식으로 나타내고 싶다면 어떻게 할까? 그래서 고안해 낸 것이 바로 Convolution이다. 표현은 다음과 같다. 이것만 가지고서는 Convolution이 정확히 어떤 ..