Linearity y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) Second-order ODE는 위와 같이 Second-level Derivative가 최고 차수인 ODE를 말하며, 위와 같은 Standard Form으로 쓸 수 있을 때, Linear라고 하며, 그렇지 못할 때 Nonlinear라고 한다. 마찬가지로 y'' 대신 f(x)y'' 의 형태로 되어있는 경우 양변을 f(x)로 나누어야 한다. Homogeneity y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 위와 같은 형태로 쓸 수 있는 경우 Homogeneous라고 하며, r(x)가 0이 아닌 경우 Nonhomogeneous라고 한다. 앞으로 알아보게 될 Second-order ODE는 Homogeneous와 Nonhomogeneous로 구..

Linear ODE y' + p(x)y = r(x) 어떤 First-order ODE를 위와같은 형태로 쓸 수 있을 때, 위 ODE를 linear하다고 말한다. 만약 첫번째 Term이 f(x)y' 와 같은 꼴이라면 식 전체를 f(x)로 나눠주면 된다. 보통 r(x)는 Input, 또는 Excitation으로 많이 사용되며, y(x)는 Output, Response로 사용된다. Homogeneous Linear ODE y' + p(x)y = 0 위와 같은 형태의 ODE를 Homogeneous Linear ODE 라고 하며, General Solution은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. c=0라고 잡을 경우, 모든 x에 대해서 y(x) = 0 인 trivial solution을 구할 수 있다. Non..

General Form of Exact ODEs M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Exact ODE는 위와 같은 형태를 가지는데, M(x,y), N(x,y)는, x와 y로 이루어진 식으로 생각하면 된다. 이러한 형태는 partial derivative로 바꾸어 쓸 수 있는데, 식에서도 알 수 있듯, 어떤 함수 u(x,y)가 Constant일때, 이 함수의 partial derivative의 모양이 곧 Exact ODE가 되는 것이다. 물론, 설명할 필요도 없이 du는 0이 된다. M(x,y), N(x,y)는 위와 같이 정의된다. 그런데, 식을 써보면 위와 같은 결론이 나오게 된다. 위 결론은 어떠한 ODE가 Exact ODE인지를 증명하는데 쓰인다. 한편, 함수 u는 다음과 같은 방법으로 구..