[First-order ODEs] Linear ODEs and Bernoulli Equation

Linear ODE

y' + p(x)y = r(x)

어떤 First-order ODE를 위와같은 형태로 쓸 수 있을 때, 위 ODE를 linear하다고 말한다. 

만약 첫번째 Term이 f(x)y' 와 같은 꼴이라면 식 전체를 f(x)로 나눠주면 된다.

보통 r(x)는 Input, 또는 Excitation으로 많이 사용되며, y(x)는 Output, Response로 사용된다.

Homogeneous Linear ODE

y' + p(x)y = 0

위와 같은 형태의 ODE를 Homogeneous Linear ODE 라고 하며,

General Solution은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.

c=0라고 잡을 경우, 모든 x에 대해서 y(x) = 0 인 trivial solution을 구할 수 있다.

Nonhomogeneous Linear ODE

r(x) ≠ 0 인 Linear ODE는, Nonhomogeneous Linear ODE라고 한다.

차근차근 풀어 나가도록 하자. 먼저 수식을 다시 정리해 보면, 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

(py - r) dx + dy = 0

우리는 이 식을 Exact ODE로 만들어 General Solution을 구해 볼 것이다.

이 식 자체는 Exact ODE가 아니므로 우리는 F(x), 즉 Integrating Factor를 구해야 한다.

먼저, P = py - r, Q = 1 과 같이 정할 수 있으며, 

∂Q/∂x = 0, ∂P/∂y = p(x) 이므로, 

R = p(x) 이다.

이제 R을 식에 대입한 뒤 차근차근 정리해보자.

이렇게 구한 Integrating Factor를 양변에 곱해주면 

위와 같이 풀이가 가능하다. 최종적으로 구할 수 있는 General Solution의 형태를 다시 정리해보면,

가 되겠다. 이러한 형태는 조금 흥미로운데, 괄호를 풀어서 얻을 수 있는 식,

이며, 두개의 항은 어떤 Output을 Input r(x)의 Response와, Initial Data의 Response로 나눌 수 있게 된다.

이제 실제 예제를 살펴보자.

Example 1

y' - y = e^{2x}

p = -1, 

r = e^{2x},

h = ∫p dx = -x

이므로, General Solution을 구하면, 

위와 같이 구할 수 있다. Input에 대한 response는 e^{2x}임을 알 수 있다.

Example 2

y' + y tan x = sin 2x, y(0) = 1

p = tanx,

r = sin 2x = 2 sin x cos x,

h = ∫p dx = ∫tan x dx = ln |sec x|

역시 마찬가지로 General Solution을 구해보자.

여기에 initial condition y(0) = 1을 대입하면, c = 3을 구할 수 있다.

따라서 Particular Solution은 y = 3 cos x - 2 cos^2 x 이 된다.

Reduction to Linear Form (Bernoulli Equation)

Nonlinear ODE를 linear ODE로 바꿀 수 있는 예도 존재하는데, 

그러한 예 중 하나가 Bernoulli Equation이라고 하는 것이다. 

Bernoulli Equation의 식의 모양은 다음과 같다.

y' + p(x)y = g(x)y^a (a is any real number)

만약 a가 0, 또는 1이라면 식은 linear하다. 하지만 그 이외의 경우에는 nonlinear이다.

정리를 통해 구한 최종 식은 결론적으로 linear하다. 

이 식을 우리가 앞서 배운 Nonhomogeneous Linear ODE의 General Solution을 구하는 방법을 통해 구하고

그를 통해 얻은 u(x)를 다시 y(x)를 구하는데 사용하면 된다.

Example 3 - Logistic Equation (Verhulst Equation)

y' = Ay - By^2

Logistic Equation, 또는 Verhulst Equation으로 알려진 위 식은 Bernoulli Equation의 일종이다.

위에서 이끌어낸 식을 토대로 풀어보자.

이를 통해 다시 General Solution을 구해보면,

위와 같이 구할 수 있다.