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[Mixed RV] Probability Models of Derived RV

2012. 2. 19. 22:41

CDF and PDF of Derived RV

Y = aX 이고, a > 0를 만족하는 두 개의 random variable X, Y의 CDF와 PDF는 다음과 같은 관계를 갖는다.

F_Y(y) = F_X(y/a), ~~~f_Y(y) = \frac{1}{a}f_X(y/a)


위 정리에 대한 증명은 다음과 같다.

\\F_Y(y)=P[aX \leq y] = P[X \leq y/a] =  F_X(y/a)\\ f_Y(y) =\frac{dF_Y(y)}{dy}= \frac{1}{a}f_X(y/a)

 
만약 a가 1보다 크다면, 전체적인 Y의 PDF의 모양은 원래의 X의 PDF에서 늘어나는 형태가 될 것이고
a보다 작으면 범위가 줄어드는 형태가 된다.
형태는 아래 예제를 통해서 살펴보게 될 것이다.

한편 Y = X + b를 만족하는 random variable X, Y가 있을 때 다음을 만족한다.

F_Y(y) = F_X(y-b), ~~~f_Y(y) = f_X(y-b)


역시 마찬가지로 다음과 같이 증명된다.

\\F_Y(y)=P[X+b \leq y] = P[X \leq y-b] =  F_X(y-b)\\ f_Y(y) =\frac{dF_Y(y)}{dy}=f_X(y-b)




Example 1

다음과 같이 삼각형 형태의 PDF가 있다고 하자.

f_X(x) = \begin{cases}2x&0\leq x\leq 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}


Y = aX인 random variable Y에 대해서 PDF를 구해보면, (단, a>0)

\begin{array}{rll}f_Y(y) &=& \frac{1}{a}f_X(y/a) \\ &=&\begin{cases}2y/a^2&0\leq y\leq a \\ 0 & otherwise \end{cases}\end{array}


a = 1/2, 1, 2 에 대해서 각각 Y의 PDF를 그래프로 그려보면


위와 같다. 앞에서 설명했던대로 a가 1보다 작으면 좁아지고, 1보다 크면 좌우로 펼쳐진 형태를 띤다.
다만, 삼각형 내부의 면적은 모두 1이므로, a=1/2 일때의 peak가 가장 높아지게 된다.



Case: Named RV

a>0 이고, Y = aX를 만족하는 random variable X와 Y가 있을 때, 다음을 만족한다.
1. X가 uniform(b,c) RV일때, Y는 uniform(ab,ac)이다.
2. X가 exponential(λ) RV일때, Y는 exponential(λ/a)이다. 
3. X가 Erlang(n,λ) RV일때, Y는 Erlang(n,λ/a)이다. 
4. X가 Gaussian(μ,σ) RV일때, Y는 Gaussian(aμ,aσ)이다.




Inverse Function

U를 uniform(0,1) RV라고 하자.
F(x)를 cumulative distribution function (CDF)라고 하자. 
0 < u < 1 의 범위에서 다음과 같은 inverse function F^-1(u)이 정의된다고 하자.
그러면, random variable X에 대해서, X와, 그의 CDF는 다음과 같이 정의된다.

X = F^{-1}(U) ~has~CDF~F_X(x) = F(x)


여기서 설명하는 내용은 
어떤 임의의 random variable X를 uniform RV인 U에 관한 관계식으로 나타내고자 할 때 사용되는 것이다.
위와 같은 관계가 가능한 이유는 U가 uniform RV이기 때문이다.

증명을 위해서 먼저 우리는 F^-1(U)가 nondecreasing function(단조증가함수) 임을 보여야 한다.

u ≥ u' 에 대해서 x = F^-1(u)이고  x' = F^-1(u')라고 하자.
여기서는 u = F(x), u' = F(x') 가 되고,
F(x)가 nondecreasing이기 때문에, F(X) ≥ F(x')는 곧 x ≥ x'를 의미한다.
따라서 X = F^-1(U)에 대해서 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

F_X(x) = P[F^{-1}(U) \leq x] = P[U \leq F(x)] = F(x)


위 식을 처음 보면 가장 이해하기 난해하다고 느끼는 부분이 P[U ≤ F(x)] = F(x) 인데
U가 uniform (0,1)RV라는 사실을 기억하고 있다면, 당연한 결과가 된다.
즉, U의 PDF를 그려보면, 0에서 부터 0과 1 사이의 어떤 특정한 값까지의 PDF 넓이가 곧 확률이 되기 때문에,
P[U ≤ F(x)] = F(x) 가 성립하게 되는 것이다.

F_X(x) = F(x)를 만족하게 됨으로써,
결론적으로는 CDF를 inverse 하는 것 만으로 곧바로 X와 U의 관계식을 쓸 수 있게 된다.
잘 이해가 가지 않으면 다음 예제를 살펴보자.



Example 2

U가 uniform (0,1) RV이고 X = g(U) 이며, X가 exponential(1) RV일 때 g(U)를 구하라.
먼저 X의 CDF는 다음과 같이 쓸 수 있다.

F_X(x) = \begin {cases} 0&x<0 \\ 1-e^{-x} & x \ge 0 \end{cases}


앞에서 정리했던 대로 식을 차근차근히 써 보면,

\\ \begin{array}{rll}u&=&F(x) \\ u&=& 1-e^{-x}\\ -u+1 &=&e^{-x}\\ \therefore x&=&-ln(1-u)\end{array}\\ \\ For~any~u \ge 0, ~F_X^{-1}(u) = -ln(1-u)


따라서 최종적으로,

X=g(U)=-ln(1-U)


위와 같이 쓸 수 있다.